Complementregel.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Dat systeem met die kansbomen lijkt een mooi systeem, maar het kan soms wel erg veel werk opleveren.
Neem het volgende probleem:
Bij roulette wordt bij  ieder spel een grote schijf met vakjes die genummerd zijn van 0 tot en met 36 aan het draaien gebracht. De croupier werpt daarna een balletje tegen de draairichting van de schijf in. Na enige tijd blijft het balletje in één van de 37 vakjes liggen. Het nummer van dat vakje is dan het winnende nummer.
Neem aan dat bij elk spel alle nummers gelijke kansen hebben om het winnende nummer te worden. Hoe groot is de kans dat je bij 6 keer spelen minstens twee keer het juiste nummer hebt geraden?
De kansboom bij dit probleem ziet er als volgt uit (per keer is de kans dat je het goed hebt  1/37 en dat je het fout hebt dus  36/37)
Nogal een boom hé?  Naar rechts betekent steeds FOUT en naar links betekent GOED.
Alle gunstige takken eindigen in een paars bolletje. We zouden nu dus al die takken met een paars bolletje moeten uitrekenen (door alle kansen te vermenigvuldigen) en daarna al die takken bij elkaar op moeten tellen.

DAT KAN SNELLER!

We kunnen de methode van grote kansbomen hier natuurlijk gebruiken.
Dat gaat zo:

• De kans op  2 keer goed:  één tak is bijv. GGFFFF met kans (1/37)2 • (36/37)4  en daar zijn er 6 nCr 2 = 15 van, 
dus P(2 goed) =  (1/37)2 • (36/37)4 • 15 = 0,0098195349
• De kans op 3 keer goed:  één tak is bijv. GGGFFF met kans (1/37)3 • (36/37)3  en daar zijn er 6 nCr 3 =  20 van, 
dus P(3 goed) =  (1/37)3 • (36/37)3 • 20 = 0,0003636865
• De kans op 4 keer goed:  één tak is bijv. GGGGFF met kans (1/37)4 • (36/37)2  en daar zijn er 6 nCr 4 =  15 van, 
dus P(4 goed) =  (1/37)4 • (36/37)2 • 15 = 0,0000075768
• De kans op 5 keer goed :  één tak is bijv. GGGGGF met kans (1/37)5 • (36/37)1  en daar zijn er 6 nCr 5 =  6 van, 
dus P(5 goed) =  (1/37)5 • (36/37)1 • 6 = 0,0000000842
• De kans op 6 keer goed:  één tak is GGGGGG met kans en dat is ook de enige tak, 
dus P(6 goed) =  (1/37)6  = 0,0000000004

Samen geeft dat een kans van:  
0,0098195349 + 0,0003636865 + 0,0000075768 + 0,0000000842 + 0,0000000004 = 0,0102

DAT KAN NÓG SNELLER!

Als je naar die enorme boom met al die paarse bolletjes kijkt, dan komt de oplossing als je je het volgende realiseert:

Alle takken samen hebben kans 1.
Dat betekent dat je, als je de kans op alle gunstige takken wilt weten, net zo goed de kans op de NIET gunstige takken kunt berekenen. Wat er dan overblijft is de kans op de gunstige takken. Als de niet-gunstige takken samen bijvoorbeeld kans 0,3 hebben, dan hebben de gunstige takken kans 0,7.
Van de niet gunstige takken zijn er veel minder: kijk maar naar de boom; de takken zonder bolletje zijn veel makkelijker te tellen dan die met. De nog-snellere-berekening gaat als volgt:
• De kans op 1 keer goed:  één tak is bijv. GFFFFF met kans (1/37) • (36/37)5 en daar zijn er 6 nCr 1 =  6 van,
dus P(1 goed) =  (1/37) • (36/37)5 • 6 = 0,1414013025
• De kans op  0 keer goed:  dat is tak FFFFFF met kans (36/37)6 = 0,8484078149
De kans op de rest is dan  1 - 0,1414013025 - 0,8484078149  = 0,0102
De hier gebruikte regel heet de complementregel.
De regel zegt eigenlijk dat, als de kans op gebeurtenis A erg veel werk is om uit te rekenen, je soms handiger de kans op niet-A kunt uitrekenen en die dan van 1 aftrekken.
Dat zal in opgaven vaak voorkomen bij woorden als "minstens" of "hoogstens" of  "meer dan" e.d.
complementregel:  P(A) = 1 - P(niet-A)
   
  OPGAVEN
1. Bij een televisieshow mag de winnares proberen een prijs te veroveren. Zij krijgt tien deuren te zien. Achter twee van die deuren bevindt zich een prijs. Achter de andere 8 deuren zit helemaal niets. De winnares mag drie deuren openen, en de prijzen die zij tevoorschijn haalt houden.
Bereken de kans dat er minstens één prijs tevoorschijn komt.
     

0,5333
2. Het verjaardagprobleem
In een klas zitten 30 leerlingen. Er zijn geen tweelingen bij.
Hoe groot is de kans dat er minstens twee op dezelfde datum jarig zijn?
     

0,7063
3. Ik heb  6 lege vazen, genummerd 1 tm 6.
Eerst doet Margriet in zes van die vazen een witte parel. Ze kiest de vazen steeds willekeurig,dus vaker dezelfde vaas kan ook. Daarna doet Jolanda in (weer willekeurig) vier van die vazen een zwarte parel (ze weet niets van de acties van Margriet af, dus zou best een zelfde vaas kunnen kiezen).

Nu kies ik willekeurig één van de vazen.
Hoe groot is de kans dat er minstens één parel in zit?
     

0,8385
4. Je kiest drie willekeurige verschillende cijfers (van 0 tm 9)
Vervolgens pak je een willekeurig briefje van 10, 20 of 50 euro. Daar staat een willekeurig getal van 11 cijfers op.
Hoe groot is de kans dat minstens één van jouw drie cijfers op dit briefje voorkomt?

0,9802
   
5. Er staan zeven mensen op de lift van een hotel te wachten. Als de lift komt stappen ze er allemaal in. Het gebouw waar ze zich in bevinden heeft 25 verdiepingen met elk het zelfde aantal kamers.
       
  a. Hoe groot is de kans dat er minstens twee mensen op dezelfde verdieping moeten zijn?
       

0,6031
  We zijn verder geïnteresseerd in hoe groot de kans is, als jij één van deze zeven mensen bent, dat er minstens één andere persoon uit de lift bij jou op de verdieping moet zijn.
         
  b. Bereken deze kans als elke verdieping een zeer groot aantal kamers heeft.
       

0,2172
         
6. Examenvraagstuk

In de gang naar een kluis is een alarminstallatie aangebracht die in directe verbinding staat met de meldkamer op het hoofdbureau van de politie. In het plafond zijn (onzichtbaar) vijf roterende sensoren aangebracht. 's Nachts gaat het alarm automatisch af zodra minstens één van deze sensoren geactiveerd wordt. De sensoren werken geheel onafhankelijk van elkaar. Voor elke sensor afzonderlijk geldt dat de kans op een alarm (de detectiekans) in het geval dat iemand 's nachts de sensor passeert, gelijk is aan 0,45.
         
  a. Toon met een berekening aan dat de kans dat het alarm bij de politie afgaat als iemand 's nachts de sensor passeert gelijk is aan 95%.
         
  De directie vindt deze kans te klein. Zij wil de sensorinstallatie zo laten verbeteren dat de kans op alarm als iemand 's nachts de hele gang aflegt, groter is dan 99,5%. Volgens de chef van de beveiliging kan dit op twee verschillende manieren bereikt worden:
I:  Het aantal sensoren met een detectiekans van 0,45 wordt uitgebreid; per bij te plaatsen sensor kost dit ƒ8000,-
II: Een aantal van de aanwezige sensoren wordt ingeruild tegen een nieuw type met een detectiekans van 0,80. Per ingeruilde sensor kost dit ƒ9000,-.
         
  b. Bereken hoeveel men minimaal moet uitgeven om de sensorinstallatie zodanig te verbeteren dat aan de wens van de directie wordt voldaan.
       

27000
       
7. Een gemeenschappelijke kennis?

In Nederland wonen ongeveer 16.000.000 mensen.
Ik kom in de trein naast een willekeurige andere Nederlander te zitten en wij raken aan de praat, en verdomme! Het blijkt dat wij een gemeenschappelijk persoon kennen!!!
Wat een toeval!!!
Of toch niet....???

Laten we eens aannemen (schatten) dat elke Nederlander ongeveer 1000 andere Nederlanders kent. Niet allemaal even goed natuurlijk.

Kies nu een willekeurig persoon uit alle Nederlanders.
         
  De kans dat deze willekeurige Nederlander niet BEIDE mensen in de trein kent is dan ongeveer 0,9999999961. 
         
  a. Toon dat aan.    
         
  De kans dat alle 16000000 miljoen Nederlanders deze twee mensen niet beiden kennen is dan ongeveer 0,94.
Dat betekent dat je in 6% van de ontmoetingen een gemeenschappelijke kennis hebt!
         
  b. Toon dat aan.    
         
8. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1992
         
  Kansrekening kom je overal in wetenschappelijke publicaties tegen. Helaas is de formulering niet altijd even helder. Hieronder vind je daar een voorbeeld van.
De tekst is afkomstig uit het standaardwerk "De Nederlandse Delta". Het beschrijft de overstromingsramp van 1953. Toen steeg het water bij vloed zo hoog dat een groot deel van Zuidwest-Nederland onder water kwam te staan.
         
 
De ramp...

De stormvloed die in de nacht van 31 januari op 1 februari 1953 ons land overviel kwam als een volslagen verrassing. We wisten wel dat een vloed van een dergelijke hoogte eens zou kunnen voorkomen. Zo'n vloed heeft een frequentie van ongeveer 1/300, dat wil zeggen dat een willekeurige inwoner van het Deltagebied een kans heeft van bijna 25% om een vloed van dit formaat eenmaal in zijn leven mee te maken. Maar zo'n kansberekening sprak niet tot de verbeelding, een eventuele gebeurtenis van deze omvang kon men zich nauwelijks voorstellen. Terwijl in  de rampnacht het vloedwater topt angstwekkende hoogte begon te stijgen, hadden vele Deltabewoners zich dan ook onbekommerd ter ruste begeven.
         
  Er wordt gesproken over een frequentie van ongeveer 1/300. Je zou kunnen denken dat de schrijver bedoelt, dat we per 300 keren vloed gemiddeld 1 keer "een dergelijke hoogte" kunnen verwachten.
De tijd tussen twee opeenvolgende keren vloed is 12 uur en 25 minuten.
Mensen worden gemiddeld 73 jaar oud.
         
  a. Gemiddeld hoeveel keer in een mensenleven zal een dergelijke hoogte dan voorkomen? Licht je antwoord toe.
         
  Omdat in de tekst gesproken wordt van een kans van bijna 25% kan het niet zo zijn dat de schrijver met "een frequentie van ongeveer 1/300" bedoelde:  ongeveer 1 keer per 300 keer vloed. Misschien bedoelde de schrijver wel: gemiddeld 1 keer per 300 jaar.
Neem aan dat voor ieder jaar geldt dat de kans op zo'n vloed 1/300 is.
De schrijver spreekt over "eenmaal in zijn leven". Ga er van uit dat hij "minstens eenmaal in zijn leven" bedoelt.
         
  b. Ga met een berekening na of de uitspraak "....een kans heeft van bijna 25%..." hiermee in overeenstemming is.
         
9. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2005
   
  Bij de kaartjescontrole in de trein hanteert de NS het begrip controle-intensiteit. Met een controle-intensiteit van 10% op een bepaald traject bedoelt de NS dat er in de spitsuren gemiddeld in 1 op de 10 ritten op dat traject kaartjescontrole plaatsvindt.
We gaan ervan uit dat iemand dan een kans heeft van 10% om bij een rit op dat traject gecontroleerd te worden.

Een reiziger neemt op een dag een retourtje op dit traject (dat zijn dus 2 ritten) Hij reist in de spitsuren. Neem aan dat de controle-intensiteit op dit traject 10% is.
       
  a. Bereken de kans dat hij die dag op dit traject niet wordt gecontroleerd.
     

0,81
  Deze reiziger neemt in een bepaalde week op elk van de vijf werkdagen een retourtje op dit traject, waarbij hij steeds in de spits reist.
         
  b. Bereken de kans dat hij tijdens deze werkweek precies één keer wordt gecontroleerd.
       

0,3874
  Wordt de controle-intensiteit op een bepaald traject gelijk gesteld aan p (in %), dan is de kans dat een reiziger in de spitsuren van een werkweek (10 ritten) geen enkele maal gecontroleerd wordt gelijk aan (1 - 0,01p)10 
         
  c. Toon dit aan.
         
  De NS wil ervoor zorgen dat de kans dat een reiziger in de spitsuren van een werkweek (10 ritten) geen enkele maal gecontroleerd wordt hoogstens 20% is.
         
  d. Onderzoek hoe groot de controle-intensiteit dan minstens moet zijn.
       

15%
         
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)