Grafieken die elkaar raken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Een raaklijn is eigenlijk een speciaal geval van het veel algemenere geval waarin twee willekeurige grafieken elkaar raken. Bij de raaklijn is één van beiden een rechte lijn, maar dat is natuurlijk helemaal niet nodig. Ook twee kromme grafieken kunnen elkaar best raken.

Daarvoor zijn twee voorwaarden nodig:  op de eerste plaats moeten de grafieken door het zelfde punt R gaan dat lijkt me logisch. Maar daarnaast moeten in dat punt R hun hellingen ook nog aan elkaar gelijk zijn, zodat ze echt "langs elkaar" lopen.
Samengevat:
   

De grafieken van f en g raken elkaar:

 

 

1.   f '= g'

2.  f ' = g'

 

 
   
Stel in zulke gevallen gewoon twee vergelijkingen op (één voor voorwaarde 1 en één voor voorwaarde 2)  en probeer het stelsel vergelijkingen dat je zo hebt gekregen op te lossen.
   
Voorbeeld.  Voor  welke p raken de parabolen  y = x2 + px + 4  en  y = -2x2 + 4x + p  elkaar?

Oplossing:
f = g   geeft  x2 + px + 4 = -2x2 + 4x + p
f ' = g'  geeft  2x + p = -4x + 4
De tweede vergelijking geeft  p = 4 - 6x en dat kun je invullen in de eerste:  x2 + (4 - 6x)x + 4 = -2x2 + 4x + (4 - 6x)
⇒  -3x2 + 6x = 0
⇒  x = 0  of  x = 2  en omdat  p = 4 - 6x  levert dat  p = 4  of  p = -8
Hiernaast staan beide mogelijkheden geplot op de GR.

Verdraaid! Het lijkt te kloppen!
   
Elkaar snijdende grafieken.  
   
Als twee grafieken elkaar snijden, dan is natuurlijk een interessante vraag: 
   

"Onder welke hoek snijden de grafieken elkaar?"
   
Het gaat dus om de hoek tussen de twee gekromde grafieken in de figuur hiernaast.
Nou is dat met gekromde grafieken nogal moeilijk te zien, immers de helling varieert van punt tot punt.

Maar als je maar genoeg ""inzoomt" op dat snijpunt, dan lijken de grafieken van f en g op een gegeven moment (bijna) op rechte lijnen.
Precies:  in de buurt van hert snijpunt zijn de grafieken ongeveer gelijk aan hun raaklijnen!!!

Daarom maken we de volgende afspraak:

   

De hoek tussen twee grafieken in een bepaald punt P
is hetzelfde als de hoek tussen de raaklijnen in dat punt P.
   
Hiernaast zie je die twee raaklijnen groen getekend.

Nou weten we gelukkig al hoe we de hoek van een rechte lijn met de x-as moeten berekenen. Dat staat in deze les.

De hellingen (richtingscoëfficiënten) van die raaklijnen kun je berekenen door de afgeleide functies f 'en g' in het snijpunt uit te rekenen.
Daarna kun je de hoeken β en γ met de x-as berekenen met de tangens:
tanβ = f '  en  tanγ = g'

En daarna is natuurlijk de gevraagde hoek α gelijk aan :  α = γ - β zoals je in de figuur hiernaast ziet.

   
Voorbeeld.

Bereken de hoek die de grafieken van   f(x) = x2  en  g(x) = 1/x  bij het snijpunt  (1, 1) met elkaar maken.

oplossing:
f '(x) = 2x  dus  f '(1) = 2
g '(x) = -1/x²  dus  g '(1) = -1

tanβ = 2 geeft  β = 63°
tanγ = -1 geeft  γ = 135°  (of -45°)

Dan is de gevraagde hoek gelijk aan α = 72°

   
   
  OPGAVEN
   
1. Voor welke p raken de parabolen  y = x2 - 9x + p  en  y = -2x2 - px  elkaar?
     

3  of  27
       
2. Voor welke p raken de grafieken van  f(x) = x3 - 2x2 + p  en  g(x) = x2 + 9x + 1  elkaar?
     

28 of  -4
       
3. Voor welke p raken de parabolen  y = x2 + px + 2  en  y = -25 - 2x2  elkaar?
     

18 of  -18
4. De grafieken van y = √x  en  y = 2x2  raken elkaar niet; ze snijden elkaar.
Maar je kunt de grafiek van y = 2x2 wel net zo ver omhoog schuiven dat hij de grafiek van  y = √x precies raakt.
Hoe ver moet je hem daarvoor omhoog schuiven?
     

  3/8 

5. Gegeven is de functie  f(x) = x2 - 4x√x + 4x

Lijn k raakt de grafiek van f in de oorsprong. Door de grafiek van f over afstand a in horizontale richting te verschuiven ontstaat de grafiek van g. Het blijkt dat k de grafiek van g óók raakt.
Bereken in dat geval a.
       
6.
  Bereken voor welke a de grafieken van f en g elkaar raken en geef de coördinaten van het raakpunt.
     

  a = ±2  (±3,±1) 

       
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006

Voor x ≥ 0 zijn gegeven de functies   f (x) = x2  en  g(x) = 3√x.
In de figuur hiernaast staat van beide functies een deel van de grafiek getekend.

De grafiek van f wordt omhooggeschoven totdat hij raakt aan de grafiek van g.

Bereken met behulp van differentiëren in twee decimalen nauwkeurig hoeveel de grafiek van f dan omhooggeschoven is.

       

  2,04 

8. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2010.
         
  Op het domein [-1, 4] zijn de functies f en g  gegeven door 
f(x) = (x3 − 2x) • sin(x − 2) + 5 en g(x) = 4x +10sin( πx) .

Verder zijn gegeven punt P op de grafiek van f en punt Q op de grafiek van g. De x-coördinaat van P is gelijk aan de x-coördinaat van Q. Bovendien is gegeven dat de hellingen in punt P en punt Q gelijk zijn.

De grafiek van f wordt over een afstand a omhoog geschoven, waarbij de waarde van a zo gekozen wordt dat het verschoven punt P samenvalt met punt Q. Hierdoor zullen de verschoven grafiek van f en de grafiek van g elkaar raken in Q.

Bereken de waarde van a met behulp van differentiëren.
       

    13    

9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010
 
  Voor  n = 1, 2, 3, ...  is de functie fn  gegeven door  fn(x) = n + 6√(x - n)
  Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = x + 9
Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van fn de lijn k raakt in het punt met x-coördinaat n + 9.
         
10. Gegeven zijn de functies:   f(x) = 3 - pcos2x  en  g(x) = sinx

Voor welke waarde van p raken de grafieken van f en g elkaar?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
       

    2.91 en 0.09    

     
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)