|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Niet alleen getallen kunnen even
of oneven zijn, functies ook! We noemen een functie even als de grafiek ervan symmetrisch is ten opzichte van de y-as. Dat is zo als geldt: f(-x) = f(x) Een functie is oneven als de grafiek ervan symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong. Dat is zo als f(-x) = -f(x). Waar komen die namen vandaan? Nou, alle functie van de vorm xn met een even macht n zijn symmetrisch in de y-as, immers f(-x) = (-x)n = (-1)n • xn = xn = f(x). En alle functie xn met een oneven macht n zijn symmetrisch in de oorsprong, want dan is die (-1)n gelijk aan -1. Natuurlijk zijn niet alleen de functies xn oneven of even. Alle functies die een combinatie van even machten zijn, zijn ook even, en alle combinaties van alleen maar oneven machten zijn weer oneven. Verder is bijvoorbeeld cosx een even functie en sinx een oneven functie. Hier heb je wat voorbeelden van even en oneven functies: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Zoals je hierboven
ziet zijn alle combinaties van even functies weer even, en alle
combinaties van oneven functies zijn weer oneven. Met "combinaties"
bedoel ik voorlopig: bij elkaar optellen. Hoe is het als je een oneven en een even functie combineert? Hiernaast staan er twee. Daaraan is direct al wel te zien dat dat niets oplevert.... Het wordt niet wéér een even of oneven functie. Wat kunnen we nog meer met functies doen? We kunnen ze natuurlijk met elkaar vermenigvuldigen. Daarvan zie je hieronder wat voorbeelden. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De conclusies staan onder de
figuren (een echt bewijs, daar kijken we straks nog naar). Wat kunnen we nog meer met functies doen? We kunnen ze schakelen!!! Van een functie f(x) en een functie g(x) kun je een nieuwe functie f(g(x)) maken. Of andersom: g(f(x)). Dus eerst de ene functie toepassen en daarna op het resultaat nog de tweede functie. Proberen maar weer: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ons kleine onderzoekje leidt voorlopig tot de volgende conclusies: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als je geïnteresseerd bent in het "officiële" bewijs van al die regels moet je maar hiernaast kijken (of die bewijzen gewoon zelf even verzinnen, want zo moeilijk is dat allemaal niet) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Regels 9 en 10 kunnen
natuurlijk nog veel algemener: elke functie die
toegepast wordt op een even functie is automatisch ook even. Dus in het
algemeen f(e(x)) is even als e(x)
even is. Zo is bijvoorbeeld 2-x² een even functie, en ook √(x4 + cosx) en log(cosx) en noem maar op...... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
