serie evenwijdige doorsneden

Construeer een figuur uit horizontale doorsneden.

Als je een serie zulke doorsneden krijgt, en je moet de ruimtelijke figuur erbij construeren, dan kun je het handigst eerst een ruimtelijke figuur die er omheen past tekenen, en vervolgens dáárin de doorsneden gaan tekenen.
Neem bijvoorbeeld de volgende serie horizontale doorsneden die van een ruimtelijke figuur zijn gemaakt. De figuur heeft rechte ribben en is ontstaan door van een kubus met ribben 5 cm stukken af te snijden. Daarbij is de linkerbovenhoek steeds op zijn plaats gebleven.
Onder de doorsnede staat steeds op welke hoogte (h in cm) de doorsnede is gemaakt.

Eerst maar eens even de omtrek van de oorspronkelijke kubus er overal bijtekenen:

Wat je vervolgens het beste kunt doen, is in een kubus met ribben 5 horizontale vlakken op hoogte 0, 1, 2, 3, 4 en 5 te tekenen, zoals in de eerste figuur hieronder.

Teken er vervolgens de zes afbeeldingen van de doorsneden in zoals in de tweede figuur is gebeurd. Verbind de blauwe randen met elkaar, en laat tenslotte alle hulpvlakken weer weg.
Voilá! Daar is de figuur al!!

Van een kubus zijn stukken afgesneden met rechte ribben. Teken bij de serie evenwijdige doorsneden hieronder de ruimtelijke figuur.

Hieronder zie je een foto van de beroemde kubuswoningen in Rotterdam van architect Piet Blom. Rechts staat een draadmodel van zo'n kubuswoning getekend met een horizontale vloer erin.

Deze vloer heeft een driehoekige vorm. Maar als je vloeren op andere hoogten in zo'n woning aanbrengt, dan varieert de vorm daarvan. Teken een paar zulke andere vloeren.

Van een regelmatige vierzijdige piramide met hoogte 8 en grondvlak met zijden 4 worden delen weggesneden.
Van de figuur die overblijft staan hieronder een aantal horizontale doorsneden.
Maak een ruimtelijke figuur.

Examenvraagstuk
Een pijler onder een brug rust op een betonnen voetstuk. Het voetstuk staat op de grond en bestaat uit twee delen. Het onderste deel heeft de vorm van een balk, het bovenste deel ABCD.EFGHKLMN zorgt voor de overgang naar de pijler die achtzijdig is. Zie de figuur links hieronder.

In de figuur rechts is een vooraanzicht van het voetstuk getekend. In beide figuren zijn de afmetingen gegeven in centimeters.

Er wordt een lint evenwijdig aan vlak ABCD om het voetstuk gespannen. Het lint is 500 cm lang. Als het lint om het balkgedeelte wordt gespannen is er 100 cm over. Gaat het lint door de punten E, F, G, H, K, L, M en N dan is er ongeveer 283 cm over.

Toon met een berekening aan dat er dan inderdaad ongeveer 283 cm over is.

Het lint wordt nu op een hoogte van 50 cm (gerekend vanaf de grond) om het voetstuk gespannen.

Bereken hoeveel cm van het lint op deze hoogte over is. Rond je antwoord af op een geheel getal.

146 cm.

Examenvraagstuk.
In de figuur links hieronder is een balk ABCD.EFGH getekend. Het grondvlak ABCD is een vierkant met een zijde van 3 cm. De ribbe CG is 4 cm lang.
Door uit de balk de twee piramides B.EFG en D.EHG weg te halen ontstaat het in de rechterfiguur getekende lichaam ABCD.EG.

Het lichaam wordt op bepaalde hoogte evenwijdig aan het grondvlak doorgesneden. In de figuur hiernaast is deze horizontale doorsnede KLMNOP getekend.
Door het lichaam op steeds grotere hoogten evenwijdig aan het grondvlak te doorsnijden ontstaan horizontale doorsneden waarvan de oppervlaktes steeds meer van de oppervlakte van het vierkant ABCD afwijken.

Bereken op welke hoogte (gerekend vanaf het grondvlak ABCD) de oppervlakte van de horizontale doorsnede gelijk is aan 5 cm².

1¹/₃

Examenvraagstuk (gewijzigd).

In de figuur hiernaast is een model van een koffiefilterhouder getekend. De hoogte AF is 9,9 cm. De onderkant is het lijnstuk AB met een lengte van 6 cm.
De bovenrand van de houder heeft de vorm van een cirkel.

De middellijn CD van deze filterhouder is gelijk aan 13 cm.

Toon dat aan.

In de figuur hiernaast is op bepaalde hoogte de dwarsdoorsnede van de koffiefilterhouder getekend.
Deze dwarsdoorsnede is een figuur die bestaat uit een rechthoek PQRS en twee halve cirkels met middellijnen PQ en RS.
We nemen aan dat CD exact gelijk is aan 13 cm.

Teken parallelle doorsneden getekend van de houder op
0%, 25%, 50%, 75% en 100% van de hoogte.

Bereken de oppervlakte van de dwarsdoorsnede op eenderde deel van de hoogte.
Geef je antwoord in cm².

32 cm²

Doorsnedes en inhoud.

Je kunt zulke horizontale doorsnedes ook gebruiken om de inhoud van een object te schatten. Vrij nauwkeurig zelfs.

Een voorbeeld zal wel duidelijk maken hoe dat in zijn werk gaat.

Stel dat je de inhoud van het mooie vaasje hiernaast wilt schatten.
Dan teken je eerst maar eens het vooraanzicht. Dat is in figuur 2 hieronder gebeurd.

Vervolgens maak je horizontale doorsnedes. In figuur 3 hieronder is het vooraanzicht in allemaal plakjes met hoogte 2 cm gesneden. (13 zulke plakjes, dus de hele vaas was kennelijk 26 cm hoog). Die 13 losse plakjes zie je in figuur 4.

Nu komt de benadering.
We doen alsof die plakjes allemaal rechthoekig van vorm zijn, met de breedte gemeten in het midden van het plakje. Dat klopt natuurlijk niet helemaal, maar als je maar genoeg plakjes hebt en de vaas niet al te krom loopt, dan komt het aardig goed in de buurt, dat zie je hiernaast wel.
Dat is in figuur 5 dus 13 keer gedaan.
Merk op dat de breedtes van de rechthoekjes hetzelfde zijn als de doorsnedes op hoogtes 1, 3, 5, ..., 25.

Maar als die vooraanzichten rechthoekig zijn, dan zijn de ruimtelijke figuren die daarbij horen allemaal cilinderschijfjes (ga er maar van uit dat de vaas symmetrisch was). En voor de inhoud van een cilinder hebben we een formule: I = pr² • h. Daarin is h dus elke keer 2 cm, en r is de helft van de lengte van de horizontale doorsnedes in het vooraanzicht op hoogtes 1, 3, 5, ..., 25.
Meet die lengtes, en bereken 13 keer de inhoud. Al die schijfjes bij elkaar opgeteld geeft een aardig nauwkeurig getal voor de werkelijke inhoud van de vaas. In de volgende tabel is dat allemaal gedaan.

hoogte in cm	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25
lengte doorsnede (2r) in cm	4,90	5,90	6,95	7,15	6,95	6,20	4,70	3,15	2,75	2,35	2,50	3,05	4,55
inhoud (πr² • 2) in cm³	30,0	43,5	60,4	63,9	60,4	48,1	34,7	15,6	11,9	8,7	9,8	14,6	32,5

De totale inhoud van ons vaasje krijg je door die laatste rij op te tellen, en dat geeft is ongeveer 430 cm³ (afgerond)
Zo.
Dat weten we dan maar weer....

Hieronder zie je steeds een foto op schaal van een vaas. De werkelijke hoogte in cm is aangegeven
Maak een schatting voor de inhoud. Verdeel de vazen elke keer in 5 plakjes.
Rond je antwoord af op honderden cm³.

1300 - 11500 - 13500

Hieronder zie je vijf horizontale doorsneden van een glas, dat in totaal 24 cm hoog is. De doorsneden zijn cirkels, waarvan de straal in de figuur is aangegeven (in cm).

Benader de inhoud van dat glas in cm³ nauwkeurig.

878 cm³

Van een halve bol met straal 10 cm gaan we de inhoud bepalen.
Dat doen we door hem in 10 plakjes te snijden. Het voordeel van een bol is dat we de breedte van die doorsneden niet hoeven te meten, maar kunnen berekenen.
Op hoogte h vanaf de bodem is de breedte b gelijk aan:
b = 2√(100 - h²)

Leg uit waarom dat zo is.

Benader de inhoud van deze halve bol met 10 plakjes. Geef je antwoord in cm³ nauwkeurig.

2097 cm³

Natuurlijk hebben ook gewoon een formule voor de inhoud van een halve bol; die is I = ²/₃πr³

Bereken hoeveel procent jouw benadering van de werkelijke inhoud afligt.

0,1%

Iemand gaat op dezelfde manier de inhoud van een kegel bepalen. Hoeveel procent afwijking van de werkelijke inhoud denk je dat hij zal vinden?


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Een serie evenwijdige doorsneden.

In de meeste grotere ziekenhuizen staat een MRI-apparaat. MRI staat voor "Magnetic Resonance Imaging". Daarmee kunnen "foto's" van binnenuit je lichaam worden gemaakt. Het komt er kortweg op neer dat door een magneetveld waterstofatomen worden aangeslagen, en die vallen dan daarna terug onder het uitzenden van straling. Zo kan bepaald worden hoeveel waterstof zich ergens bevindt, en dat is dan weer kenmerkend voor het soort weefsel (bloed, bot, vet e.d.) Hier midden onder zie je een filmpje dat met zo'n apparaat van iemands hoofd is gemaakt.



Zo'n scan wordt meestal als een aantal "plakjes" gepresenteerd. Rechts zie je een aantal foto's die een arts kan bestuderen. Het is de grote kunst om uit zo'n serie plakjes een beeld te krijgen van de ruimtelijke figuur die daarbij hoort. Dat gaan we nu op bescheiden schaal proberen.....