serie evenwijdige doorsneden

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een serie evenwijdige doorsneden.

Vandaag gaan we eens iets spannends doen.
Weet je wat? We gaan de inhoud van een halve bol uitrekenen!!!
Oké, ik weet dat je die al wel kent (gewoon natuurlijk een cirkel omwentelen, of ⁴/₃πr³ gebruiken), maar deze keer gaan we die inhoud op een hele andere manier berekenen, en het zal blijken dat die manier ook gebruikt kan worden om allerlei andere "vreemde" inhouden te berekenen.

Het werkt als volgt:

Snij die halve bol eerst in allemaal evenwijdige plakjes met dikte dh, zoals er in de volgende plaatjes een paar staan.

Er is hier gekozen voor horizontale plakjes, maar dat hoeft niet; de plakjes mogen net zo goed bijvoorbeeld verticaal staan (dan zijn het allemaal halve cirkels, maar de methode blijft hetzelfde), dat zullen we verderop zien.

Maak nu een formule voor de inhoud van zo'n plakje als functie van de hoogte h.

Hiernaast zie je dat geldt r² + h² = R², dus r² = R² - h²
De oppervlakte van dat plakje is dan πr² = π(R² - h²)
De inhoud is dan π(R² - h²)•dh

Voor de totale inhoud neem je dan de integraal van al die plakjes

Gelukkig maar; precies de inhoud die we eigenlijk al wisten.

Met verticale plakjes ziet het eruit als hieronder.

Die "plakjes" zijn nu halve cirkels met straal h en dikte dx. Vanwege die dx is de letter x nu "DE" letter van het probleem, dus moet je ook die h omzetten in een x.
In het vooraanzicht rechtsboven zie je dat geldt: (R - x)² + h² = R² dus h² = R² - (R - x)² = 2Rx - x²
De oppervlakte van zo'n halve cirkel is dan ¹/₂πh² = ¹/₂π(2Rx - x²)
Voor de totale inhoud gaan we weer integreren (denk erom dat x loopt van 0 tot 2R):

Gelukkig, het klopt allemaal.
Nou zijn dit nogal omslachtige manieren (vooral deze laatste) om de inhoud van zoiets simpels als een bol uit te rekenen. En dat is ook zo. In het voorbeeld ging het eigenlijk meer om de methode dan om het antwoord.
Maar met deze methode kun je ook vreemdere inhouden uitrekenen.

Kijk maar naar de volgende drie interessante voorbeelden:

Voorbeeld 1.

Loodrecht op een cirkelvormig grondvlak worden evenwijdige gelijkzijdige driehoeken getekend. Als je er oneindig veel van tekent, ontstaat het vreemd gevormde lichaam hiernaast.
De drie aanzichten zijn:

Geef een formule voor de inhoud als de straal van de bodemcirkel gelijk is aan R.

Omdat die evenwijdige doorsneden loodrecht op de x-as staan gaan we een integraal met dx opstellen. De grote vraag wordt dus: hoe groot is de oppervlakte van een doorsnede op plaats x?

Een gelijkzijdige driehoek met zijden 2b heeft hoogte h = b√3 en oppervlakte O = ¹/₂ • 2b • b • √3 = b²√3
In het bovenaanzicht hiernaast kun je zien dat geldt: b² + (R - x)² = R²
Dat wil zeggen b² = 2Rx - x²
Dan is de oppervlakte (2Rx - x²)√3.
En dan weer integreren voor de inhoud (x van 0 tot 2R):

Voorbeeld 2. Een wig.

Hiernaast zie je een afbeelding van een cilinder waar via een plat vlak en rood stuk is afgesneden. Daarbij is AB een middellijn van het grondvlak van de cilinder.
Zo'n scheef rood stuk heet een wig.

We zijn nogal geïnteresseerd in de inhoud van zo'n wig.

Noem de hoek die het schuine vlak van de wig met het grondvlak maakt α, en noem de straal van het grondvlak van de cilinder R.

Volgens de methode van deze les moet je nu proberen om de wig op te bouwen uit een serie evenwijdige doorsneden.

Dat zou kunnen door een serie rechthoekige driehoeken zoals in de figuur hiernaast.
Die rechthoeken staan loodrecht op de x-as, dus we gaan weer proberen de oppervlakte ervan als functie van x te vinden.

Voor de basis b van zo'n driehoek geldt (Pythagoras in driehoek MPQ)
b² = R² - (R - x)² = 2Rx - x²
omdat ook de blauwe driehoek een hoek α aan de linkerkant heeft geldt
h = btanα
Dat geeft voor de oppervlakte O = ¹/₂ • b • h = ¹/₂ • b² • tanα
Dat is met de formule hierboven: O = ¹/₂• tanα • (2Rx - x²)

Voorbeeld 3: Een ring.

Een ring dat is zo'n ding hiernaast.
Wiskundiger gezegd: "De baan van alle punten op de omtrek van een kleine cirkel (straal r) waarvan het middelpunt beweegt over een grotere cirkel (straal R)".
Dus dat blauwe cirkeltje hiernaast heeft straal r en die rode heeft straal R.

Het gaat ons natuurlijk weer om de inhoud van zo'n ring (als functie van r en R)

Nou denk je misschien in eerste instantie dat je makkelijk allemaal doorsnedes zoals dat blauwe cirkeltje bij elkaar kunt optellen (= integreren).

Maar dat is niet zo!

Het probleem zit hem erin dat die doorsneden dan niet evenwijdig zijn! En dat moet wel!!

Daarom is het beter om horizontale doorsneden te gaan maken.
Hieronder zie je zo´n doorsnede van die ring met een oranje vlak.

De oppervlakte van zo´n doorsnede is het verschil van twee cirkels, zoals je rechtsboven ziet.
Die oppervlakte (de straal van die cirkels) hangt natuurlijk van de hoogte h af (onze integraal straks gaat natuurlijk eindigen op dh).

Kortom: hoe groot zijn die r₁ en r₂ hiernaast?

Het geheim zit hem in die zwarte driehoekjes. Pythagoras daarin levert dat y² + h² = r² dus y = √(r² - h²)

De rode r₁ is gelijk aan R - y = R - √(r² - h²)
De groene r₂ is gelijk aan R + y = R + √(r² - h²)

De oppervlakte van de doorsnede is het verschil van de groene en de rode cirkel.
Dat is dus gelijk aan: πr₂² - πr₁² = p • ( (R + √(r² - h²))² - (R - √(r² - h²))²)
Haakjes wegwerken: π • ( R² + 2R√(r² - h²) + (r²- h²) - R² + 2R√(r² - h²) - (r² - h²))
Daar valt van alles weg (paars tegen paars en blauw tegen blauw) en er blijft over π • 4R√(r² - h²).

OEPS!

(ik hoop dat je wel al hebt gezien dat h loopt van -r tot r)

En toch......lastige integraal......? ...hmmmmmm.....

Ik heb nu een déja vue....

Jij ook?

Waar ken jij die integraal van??? (afgezien van die rare 4πR natuurlijk)

Natuurlijk!!!!
't Is gewoon de oppervlakte onder een cirkel!!!
y = √(r² - h²) is de formule van een cirkel met straal r, en die integraal is dan de helft van de oppervlakte.
Dus 4πR • ¹/₂πr² = 2π²r²R

(In deze les leiden we deze formule op een meer meetkundige manier af (als je dat iets interesseert natuurlijk, anders zou ik daar vooral niet op clicken).

OPGAVEN

Hiernaast zie je een afgeknotte piramide met als grondvlak een vierkant van 6 ´ 6 en als bovenvlak een vierkant van 4 × 4
De hoogte van de afgeknotte piramide is 2.

Bereken met de methode van de evenwijdige doorsneden de inhoud van deze afgeknotte piramide.

50²/₃

Van een bol met staal R wordt op afstand x vanaf de top door een horizontaal vlak een kapje afgesneden.

Geef een formule voor de inhoud van dat kapje.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2003.

Lijnstuk AB ligt in een horizontaal vlak.
Lijnstuk CD is evenwijdig aan dat vlak, op afstand 8. Lijnstuk AB heeft lengte 10 en lijnstuk CD heeft lengte 6.
De lijnstukken AB en CD staan loodrecht op elkaar. E en F zijn de middens van AB en CD.
EF staat loodrecht op AB en op CD. Zie de figuur hiernaast.

Door de punten A en B te verbinden met de punten C en D ontstaat het viervlak ABCD.
In het viervlak brengen we horizontale doorsneden aan. Omdat AB en CD loodrecht op elkaar staan zijn de doorsneden rechthoeken. In de figuur is als voorbeeld op twee hoogten de doorsnede getekend. (De hoogte wordt gemeten langs het lijnstuk EF)

In de figuur hiernaast is zo'n doorsnede op hoogte h boven het horizontale vlak getekend, met 0 < h < 8.
Met behulp van driehoek ABF kan de lengte van de zijde van de rechthoek die in vlak ABD ligt, in h worden uitgedrukt.

De lengte van deze zijde is gelijk aan 10 - ⁵/₄ • h.

Toon dit aan.

De lengte van de andere zijde is gelijk aan ³/₄•h

Omdat we de oppervlakte van de doorsnede op elke hoogte h kennen, kunnen we met een integraal de inhoud van viervlak ABCD berekenen.

Bereken exact de inhoud van het viervlak ABCD