grafiek van een functie


De grafiek van een functie.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

coördinaten

Zoals we al zagen is een functie een voorschrift (een soort recept) om aan een getal x een nieuw getal y te koppelen.
Als je die x en bijbehorende y ziet als een koppeltje (x, y) dan kunnen je dat opvatten als de coördinaten van een punt. En als je dan een heleboel zulke punten tekent geeft dat de grafiek van een functie.

Neem de functie y = x + 6. Daarbij zou je deze tabel, en dit begin van de grafiek kunnen maken:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	6	7	8	9	10	11	12
(x, y)	(0,6)	(1,7)	(2,8)	(3,9)	(4,10)	(5,11)	(6,12)

Er zal niet veel fantasie voor nodig zijn om in te zien dat, als we steeds meer punten uitrekenen (ook x-waarden die niet gehele getallen zijn, en x-en die negatief zijn), dat de grafiek van deze functie dan een rechte lijn wordt.

Hoe kun je zien of 't een functie is??

De belangrijkste eigenschap van een functie (behalve dan dat je er getallen in moet stoppen en dat er weer getallen uitkomen) is de volgende:

Bij elke x hoort hoogstens één y

Let vooral op het woord "hoogstens". Het betekent dat er twee mogelijkheden zijn.

Het zou kunnen dat een functie van een x geen y kan maken. Dat ons machientje als het ware vastloopt.
Dat is bijvoorbeeld zo als je x = -3 probeert in te voeren in het machientje y = √x. Dat gaat niet lukken.... √(-3) is niet te berekenen. Het machientje zal vastlopen, en er zal misschien vast een boel rook uitkomen, maar beslist géén waarde voor y.

Het kan natuurlijk ook dat er gewoon één y-waarde komt uitrollen. Niks aan de hand.

Maar het mag NOOIT gebeuren dat je er één x instopt en dat er twee of meer y-waarden uitkomen. Zo'n machientje noemen we geen functie.

Dat heeft gevolgen voor de grafiek.
Als er bij elke x hoogstens één y mag horen, dan heeft dus elke verticale lijn (één x) hoogstens één snijpunt (één y) met de grafiek van f. Dat betekent dat de grafiek van f niet mag "teruglopen" of "omkeren".

Een handige manier om dat te onthouden is misschien:

Als het regent wordt een functie helemaal nat!!

Hiernaast zie je waarom de daar getekende grafiek niet bij een functie hoort

Maak een tabel en schets grafieken bij de volgende functies:

f(x) = 8 - 3x

y = √x

y = 0,5x²

g(x) = ¹²/_x

Maak een tabel en probeer een functievoorschrift bij deze grafieken te vinden.

A: y = 8 - x
B: y = x²C: y = ²/_x

Welke van onderstaande grafieken horen in ieder geval NIET bij een functie? Waarom niet?

niet: A, B, D, G, H

Grafieken met de TI

Het is natuurlijk behoorlijk omslachtig als we steeds zo'n tabel moeten maken om een grafiek te schetsen. Gelukkig kan onze grafische rekenmachine óók grafieken tekenen!! Hoe dat moet staat hier.

Twee speciale grafieken: y = ... en x = ...

Als je, om de grafiek van y = 2 te tekenen, een tabel gaat maken, dan gebeurt daar iets raars. Er zit helemaal geen x in de formule dus er valt ook niets in te vullen. Wat x ook is, kennelijk is y altijd gelijk aan 2. Dat zou de volgende, nogal saaie, tabel geven:

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	2	2	2	2	2	2	2

En de grafiek wordt al niet veel interessanter:
het zijn de punten (-2, 2), (-1, 2), (0,2) enz.:

De grafiek van y = a is een horizontale lijn

En met de grafiek van x = a is het al niet veel beter.
De grafiek van x = 4 bijvoorbeeld gaat door de punten (4, -2), (4, -1), (4, 0), (4, 1), (4, 2), ...... Dat geeft de geweldig interessante grafiek hiernaast: een verticale lijn.

De grafiek van x = a is een verticale lijn

Merk op dat x = a géén functie is!!!!

De grafiek van y = 9 snijdt de grafiek van y = x² in twee punten A en B.
Bereken de afstand AB.

AB = 6

Gegeven zijn de functies y = 2x + 3 en y = x + 6.
De lijn x = 4 snijdt de grafiek van f in punt P en de grafiek van g in punt Q.
Bereken de afstand PQ.

PQ = 1

Teken het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van y = 2 en y = x - 2 en x = 6 en bereken de oppervlakte van dit gebied.

opp = 2