gelijkvormige driehoeken


Gelijkvormigheid.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Elke keer als je dingen (foto's of kopieën of Russische poppen zoals hiernaast) gaat vergroten of verkleinen, dan wil je graag dat de vorm van je figuren gelijk blijft. Het enige dat moet veranderen is dat alle lengtes gewoon een aantal keer zo groot of zo klein worden.

Wat betekent het nou als je zegt dat de "vorm" gelijk moet blijven? Nou, dat betekent eigenlijk dat alle hoeken van de nieuwe figuur gelijk zijn aan de overeenkomstige hoeken van de originele figuur.

Dus niet alleen de hoeken van de omtrek, nee alle. Kijk maar naar het vierkant en de rechthoek hiernaast.

Die hebben zoals je in de bovenste tekening ziet alle vier de hoeken gelijk (90º) maar hebben beslist niet dezelfde vorm.

In de onderste figuur zijn de rode hoeken bijvoorbeeld beslist niet gelijk en ook de groene hoeken niet.

Je zag natuurlijk ook meteen al wel dat deze twee figuren niet dezelfde vorm hebben: de eerste is een vierkant en de tweede niet!

Twee figuren zijn gelijkvormig:

•	alle overeenkomstige hoeken zijn gelijk
•	alle overeenkomstige lengtes hebben een zelfde verhouding

Gelijkvormige driehoeken.

Driehoeken vormen hier een speciale uitzondering.

Voor gelijkvormige driehoeken geldt natuurlijk ook dat alle overeenkomstige hoeken gelijk zijn, maar het is daarvoor genoeg als "de" drie hoeken van de driehoek gelijk zijn. Andere hoeken binnen zo'n driehoek zijn dan automatisch ook gelijk.
Waarom dat nou precies zo is zou hier iets te ver voeren. Als je het écht graag wilt weten, en je kunt vannacht anders minder goed slapen, dan moet je de verdieping hiernaast maar lezen.

*Twee driehoeken* zijn gelijkvormig:**

•	De drie hoeken zijn gelijk.
•	De zijden hebben een zelfde verhouding.

Het kan natuurlijk zelfs nóg sterker: het is al genoeg als twéé hoeken gelijk zijn. Omdat ze samen immers altijd 180º zijn is de derde hoek dan ook automatisch bekend.
Denk er goed aan dat de twee voorwaarden hierboven elk apart genoeg zijn om aan te tonen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Zodra de ene voorwaarde geldt, geldt de andere ook automatisch.

Wat kunnen we hiermee?

Deze eigenschap van driehoeken kunnen we makkelijk gebruiken om lengtes van lijnstukken uit te gaan rekenen
Het werkschema zal er daarbij meestal zó uitzien:

Voor die twee hoeken zul je meestal gebruik maken van Z-hoeken of F-hoeken of overstaande hoeken.
Voor het berekenen van verhoudingen kun je het handigst een verhoudingsschema maken. Denk er goed om dat overeenkomstige zijden daarin ook onder elkaar staan!

Notatie.

Als twee driehoeken ABC en DEF gelijkvormig aan elkaar zijn, dan noteren we dat als:

ABC ~ DEF

Wen jezelf aan om de overeenkomstige hoekpunten ook op dezelfde plaats te zetten, dat is handig voor het maken van een verhoudingsschema. De notatie hierboven zou betekenen dat hoek A gelijk is aan hoek D, en hoek B aan hoek E, en hoek C aan hoek F.

Voorbeeld.

In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek A en zijden AB = 8 en AC = 10, is vanaf het midden M van zijde BC een lijn loodrecht op BC getrokken, die AB snijdt in P.
Bereken de lengte MP.

Eerst maar even BC met Pythagoras uitrekenen:
BC² = 8² + 6² = 100 dus BC = 10.

Nu gaan we op jacht naar gelijke hoeken.

Maak hoek B rood en hoek C blauw.

Dan zijn rood en blauw samen 90º, immers samen met hoek A zijn de 180º.

Maar de rode hoek plus hoek BPM zijn samen óók 90º, dat kun je zien in driehoek MBP

Dat kan alleen maar betekenen dat hoek BPM óók blauw moet zijn!

Je ziet nu dat de driehoeken MBP en ABC dezelfde hoeken hebben dus zijn ze gelijkvormig (je had trouwens al meteen mogen zeggen dat deze driehoeken twéé hoeken gelijk hebben, namelijk een rechte en een rode, dus dat ze gelijkvormig moeten zijn, had je dat al gezien?)
Conclusie: MBP ~ ABC (denk om de volgorde).
Dan kunnen we voor de zijden van deze driehoeken een verhoudingsschema maken: (bedenk dat MB de helft van BC is)

AB 8	BC 10	AC 6
MB 5	BP ?	MP ?

Uit dit schema volgt vrij eenvoudig dat BP = ^{10 • 5}/₈= 6,25

(zonder schema kan het ook direct met verhoudingen: AB : AC = MB : MP dus ⁸/₆ = ⁵/_MP dus MP = 3,75)

Drie Basisfiguren.

Er zijn drie basisfiguren voor gelijkvormige driehoeken die zó vaak voorkomen dat het de moeite waard is ze uit je hoofd te leren zodat je ze snel in figuren kunt herkennen.

Figuur 1:

In de figuur hiernaast is DE evenwijdig aan AB.
Omdat dat zo is, zijn de blauwe hoeken bij A en D gelijk, en ook de rode hoeken bij B en E. Dat zijn namelijk F-hoeken.
Dus hebben de driehoeken CDE en CAB dezelfde hoeken.

CDE ~ CAB

Figuur 2: De Zandloper.

In de figuur hiernaast is DE evenwijdig aan AB.
Omdat dat zo is zijn de blauwe hoeken D en B gelijk en de rode hoeken E en A ook. Dat zijn namelijk Z-hoeken.
Ook de groene hoeken bij C zijn gelijk: overstaande hoeken.
Dus hebben de driehoeken CDE en CBA dezelfde hoeken.

CDE ~ CBA

Figuur 3:

ABC is een rechthoekige driehoek met rechte hoek A. De hoogtelijn AD vanuit de rechte hoek op de bissectrice is getekend.
Om precies dezelfde redenen als in het voorbeeld hierboven zijn de hoeken met dezelfde kleur gelijk. Rood plus blauw is samen 90º.
Nu zijn er zelfs drie gelijkvormige driehoeken te zien:

ABC ~ DBA ~ DAC

Een onbekende in het verhoudingsschema.

Neem de driehoek hiernaast, waarvan we graag CE en DE willen berekenen. Je herkent hier intussen waarschijnlijk wel figuur 1 van hierboven.
Dat betekent dat driehoeken ABC en DEC gelijkvormig zijn. Een verhoudingsschema zie er zó uit:

AB 14	BC	AC 8
DE	EC	DC 5

Kijk, DE dat wil nog wel: DE = ^{14 • 5}/₈ = 8,75
Maar daarna loopt het vast! De andere lijnstukken BC en EC uit deze tabel zijn beiden onbekend.

De oplossing komt door gewoon te stellen dat CE gelijk is aan x. Dan is BC namelijk gelijk aan x + 4 en dan ziet de verhoudingstabel er zó uit:

AB 14	BC x + 4	AC 8
DE 8,75	EC x	DC 5

En dan kun je kruislings vermenigvuldigen: 5 • (x + 4) = 8 • x
Dan is het verder eenvoudig: 5x + 20 = 8x dus 3x = 20 en x = 6²/₃
Conclusie: EC = 6²/₃ en BC = 10²/₃.

Leuk Origami-toepassinkje...

Origami is de kunst van het papiervouwen. Je kunt er mooie dingen als de zwaan hiernaast mee vouwen. Als een Origami-vouwer (origamist?) een velletje papier in drieën moet vouwen, dan doet hij dat natuurlijk niet door gewoon de lengte te meten en dat dan door drie te delen, nee hij doet dat uitsluitend door te vouwen!
Dat gaat zoals in het stripverhaal hieronder:

Jij ziet natuurlijk in één oogopslag hoe hier handig gebruik is gemaakt van gelijkvormigheid!
Toch?

OPGAVEN

Bereken de vraagtekens in de onderstaande figuren.

A: 4 en 2,5
B: 5 en 6,4 en 4,8
C: 3,6 en 2,8 en 4,8

Bereken x en y in de volgende figuren:

Hiernaast is in een rechthoek een rechthoekige driehoek getekend.
Bereken de lengte van de zijde met het vraagteken.

11¹/₃

In een gelijkbenige driehoek met basis 8 worden twee hoogtelijnen getekend. Zie de figuur hiernaast.

Het blijkt dat EB = 2

Toon aan dat de hoeken BAE en DCB gelijk zijn.

Bereken de oppervlakte van driehoek ABC

16√15

Punt D is zo gekozen dat AD = 2 en BD = 6
Het blijkt dat de hoeken ADC en ACB gelijk zijn.

Bereken de lengte van CD.

Uit een wiskunde-Olympiade

Over de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden 3, 4 en 5 schuift men twee vierkantjes met zijden 1 zo ver mogelijk naar buiten (tot ze de rechthoekszijden raken). Bereken de afstand d tussen beide vierkantjes.

¹¹/₁₂

Hiernaast staat een rechthoek met daarin twee lijnstukken getekend.
Bereken de vraagtekens in deze figuur.
Geef je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.

4,80 en 8,01
en 3,75 en 6,25

Bereken de lengte van het lijnstuk met het vraagteken in het vierkant hiernaast op twee decimalen nauwkeurig.

4⁴/₇

Bereken in de figuur hiernaast de lengtes van alle niet-aangegeven lijnstukken, als gegeven is dat DE evenwijdig is aan AC.

5, 2²/₃, 2, 1¹/₅

10.

Bereken de lengtes van alle lijnstukken in de rechthoekige driehoek hiernaast.

Controleer na afloop of in de gehele driehoek de stelling van Pythagoras wel klopt.

11.

Hiernaast staat een vierkant van 12 bij 12 waarin een kleiner vierkant is getekend.
Bereken de oppervlakte van dat kleinere vierkant.

⁷⁰⁵⁶/₁₆₉

12.

Een bewijs van de stelling van Pythagoras.

Er bestaan een heleboel verschillende bewijzen voor de stelling van Pythagoras. In deze opgave zullen we deze stelling gaan bewijzen met behulp van gelijkvormige driehoeken.

Teken een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek C. Teken ook de hoogtelijn CD vanuit C op AB. Noem de zijden AB = c, AC = b en BC = a

Druk AD uit in b en c.
Druk BD uit in a en c.

Toon aan dat a² + b² = c²

13.

Twee ladders staan in een smal steegje schuin van de voet van de ene muur naar de andere muur. Het zijaanzicht is hiernaast getekend. De toppen van de ladders raken de muren op hoogtes 8 en 5 meter.
Het gaat erom de hoogte h van het punt waar zij elkaar raken boven de grond te bepalen.
Neem de lengtes a en b als in de figuur hiernaast.

Toon aan dat geldt 8b = h • (a + b)
en ook dat geldt 5a = h • (a + b)

Bereken uit deze twee vergelijkingen de hoogte h

⁴⁰/₁₃