opgaven parameterkrommen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gemengde opgaven, parameterkrommen.

Kromme K hiernaast wordt gegeven door:
x(t) = ¹/₂ - ¹/₂cos(2t) en y(t) = ²/₃sin³t

Stel een formule op voor de baansnelheid van punt P als functie van t en bereken daarmee de lengte van deze kromme.

Deze kromme is een deel van de grafiek van y = ±²/₃x√x

Toon dat aan.

Bereken met deze formule opnieuw, nu algebraïsch, de lengte van de kromme.

Gegeven zijn de parameterkrommen K_a door x(t) = t³ - at en y(t) = t² en a > 0

Die krommen hebben allemaal een vorm zoals hiernaast geschetst.

Het snijpunt met de positieve y-as is het punt (0, a)

Toon dat aan.

Onderzoek of het punt waar de snelheid van P minimaal is samenvalt met een punt waar de raaklijn evenwijdig aan de y-as is.

Neem a = 2 en bereken de lengte van alleen het lusje in twee decimalen nauwkeurig

Een "Tricuspoïde" ziet eruit als hiernaast.
De vergelijkingen zijn x(t) = 2cost + cos(2t) en y = 2sint - sin(2t)

Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de coördinaatassen.

Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = ¹/₄π

Voor de snelheid van punt P geldt v = √(8 - 8sint)

Toon dat aan.

Bereken de lengte van de tricuspoïde

Gegeven zijn de parameterkrommen K_a door: x(t) = sin(t + a) en y(t) = cost + cos(3t)
Hieronder zie je voor een aantal waarden van a de kromme K_a

Onderzoek welke waarde van a bij de vierde kromme hoort.

Toon aan dat de kromme met a = -¹/₂π ook te schrijven is als y = 2x - 4x³

De kromme met a = ¹/₃π heeft twee snijpunten met de y-as. Bereken de afstand tussen die snijpunten.

De kromme met a = ¹/₆π lijkt een keerpunt te hebben voor t = ¹/₃π.
Onderzoek algebraïsch of dat inderdaad zo is.

De krommen met x(t) = sint en y(t) = 2sin(t - aπ) zijn allemaal ellipsen:

Als a = ¹/₂ kun je de snelheid van punt P beschrijven door v = √(1 + 3sin²t)

Toon aan dat dat zo is.

Bereken de omtrek van de ellips met a = ¹/₂π

Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de waarde van a die bij de ellips hiernaast hoort. Geef een duidelijke uitleg van je werkwijze.

Hiernaast zie je de kromme K gegeven door:

Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder K zichzelf snijdt.

Toon aan dat elk punt van K voldoet aan x² + (y² - 1)² = 1

P is een punt van K. Bereken de maximale waarde van OP.

Een wiel met straal 1 meter rust op de x-as met het ventiel V in de oorsprong. Het wiel gaat rollen over de x-as waarbij het in 2π seconden precies één omwenteling voltooit. We bekijken de beweging die punt V aflegt.
Draait het wiel over een hoek van t radialen (in t seconden dus) dan is de situatie als in figuur 2, met ∠VMP = t. Punt M is dan over een afstand t horizontaal verplaatst.

Bewijs dat MP = cost en dat VP = sint
Laat vervolgens zien dat de coördinaten van V voldoen aan:
x(t) = t - sint en y(t) = 1 - cos t
Plot de grafiek van deze parameterkromme (neem t > 0)

Tussen t = 0 en t = 2π bevindt V zich tweemaal op hoogte 0,5. Bereken de afstand tussen de twee punten waarvoor dat zo is.

Bereken wanneer punt V een snelheid van 1 m/s heeft.

Vanaf een willekeurige plaats van punt V trekken we een lijn naar de oorsprong. Deze lijn heeft vergelijking y = ax.
De waarde van a hangt dus af van de plaats van punt V, dus ook van de tijd t.

De grafiek van a als functie van t staat hiernaast geschetst.

Geef een functievoorschrift voor deze functie.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1997.

De kromme K die in de figuur hiernaast is getekend, is gegeven door:

waarbij t ∈ 〈←, -1〉 ∪ 〈1, →〉

Bereken de coördinaten van de punt(en) van K waar de raaklijn aan K evenwijdig is aan de y-as.

Er is een waarde van p ∈ R zo dat de lijn y = x + p de kromme K raakt.

Bereken p.

Voor elke a ∈ R snijdt de lijn y = a de kromme K in de punten P_a en Q_a.
M_a is het midden van lijnstuk P_aQ_a.

Toon aan dat de x-coördinaat van M_a gelijk is aan 1 + e^-a

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006.

De plaats van een bewegend punt P in een assenstelsel wordt gegeven door:
x(t) = cos2t en y(t) = cos3t, waarbij t de tijd voorstelt,
met 0 ≤ t ≤ π.
De baan van het punt P lijkt op de Griekse letter α. Zie de figuur.

Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich in (1,1), dus even ver van de x-as als van de y-as.

Bereken het eerste tijdstip na t = 0 waarop P zich wéér even ver van de x-as als van de y-as bevindt.

0,2π

Tussen t = 0 en t = π beweegt P éénmaal over de baan.
Gedurende twee tijdsintervallen bevindt P zich boven de lijn y = ¹/₂.

Bereken de totale tijd dat P zich boven de lijn y = ¹/₂ bevindt.

¹/₃π

Onderzoek of de grootste snelheid van het punt P wordt bereikt op het tijdstip t = ¹/₂π.

NEE

10.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012.

Punt P doorloopt in het Oxy-vlak een ellipsvormige baan volgens de bewegingsvergelijkingen

Hierin is t de tijd.
De baan van P is gegeven in de figuur hiernaast

Gedurende de beweging verandert de afstand van P tot de oorsprong.

Bereken de maximale afstand van P tot de oorsprong. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

1,04

Bereken exact de snelheid van P als t = 0 .

¹/₂√2

De baan van P snijdt de lijn met vergelijking y = 2x in de punten A en B.
Bereken exact de coördinaten van A en B.

(±¹/₄√3,±¹/₂√3)

11.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I.

De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:

Met t in seconden en x en y in meter.

Als t loopt van 0 tot 2π , doorloopt P de baan precies één keer.
In de figuur linksonder is deze baan weergegeven. Ook is te zien waar P zich bevindt op t = 0 en in welke richting P zich dan beweegt.

Bereken met behulp van differentiëren de maximale snelheid van het punt P in meter per seconde. Rond je antwoord af op één decimaal.

3,6 m/s

Voor 0 ≤ t ≤ 2π zijn er vier tijdstippen waarop de x-coördinaat en de y-coördinaat van P aan elkaar gelijk zijn. Op deze tijdstippen bevindt P zich achtereenvolgens in de punten A, O, B en O. Zie de figuur rechtsboven.

Bereken exact hoeveel seconden de beweging van A naar B duurt.

²/₃ π sec

Een punt Q maakt dezelfde beweging als P, maar Q loopt π seconden vóór op P.
De bewegingsvergelijkingen van Q zijn dan:

Als t = ¹/₂π en als t = ³/₂π , vallen P en Q samen. Op alle andere tijdstippen is er sprake van een lijnstuk PQ.

Bewijs dat de helling van lijnstuk PQ onafhankelijk van t is.

12.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2021-III.

Voor t ≥ 0 beweegt het punt P₁ volgens de bewegingsvergelijkingen
x(t) = t² + 2t
y(t) = 4t

Tegelijkertijd beweegt het punt P₂ volgens de bewegingsvergelijkingen:
x(t) = 4t
y(t) = 2t²

Er is één tijdstip t waarop de punten P₁ en P₂ gelijke snelheid hebben

Bereken dat tijdstip.

In onderstaande figuur zijn beide banen getekend. Op twee tijdstippen,
namelijk t = 0 en t = 2, vallen P₁ en P₂ samen. Op alle andere tijdstippen kun je de lijn l door P₁ en P₂ tekenen. In de figuur is dit voor twee tijdstippen gedaan.

De richtingscoëfficiënt van l is gelijk aan -2 voor elke waarde van t (met t ≠ 0 en t ≠ 2 ).

Bewijs dit.

Voor elke waarde van t (met t ≠ 0 en t ≠ 2 ) is P₃ het snijpunt van l met de x-as. Zie de figuur, waarin P₃ is aangegeven voor twee verschillende tijdstippen.

Bereken exact op welk tijdstip de x-coördinaat van P₃ gelijk is aan 3.