Gemiddelde Toename.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Hiernaast staat de grafiek van het temperatuurverloop op 6 februari 1995 in Groningen. Je ziet dat vanaf middernacht de temperatuur eerst nog wat afneemt, maar vanaf ongeveer 3 uur gaat toenemen tot maximaal ongeveer 12,5 ºC om 15 uur.

We zijn nu geïnteresseerd in de volgende vraag:

Wat is de gemiddelde toename per uur tussen 3 uur en 9 uur?

We lezen uit de grafiek af dat om 3 uur te temperatuur ongeveer 3,5ºC was en om 9 uur 8 ºC.

De toename is dus  8 - 3,5 = 4,5ºC geweest maar dat was over een periode van  9 - 3 = 6 uur.
De gemiddelde toename was dus 4,5/6 = 0,75 ºC/uur.
Zo. Dat was te doen. Voor de gemiddelde toename deel je gewoon de totale toename door het aantal uur. Tijd voor de volgende vraag:
"Wat stelt het voor in de grafiek?"

De totale toename was 4,5ºC en die vonden we door 8 - 3,5 te berekenen. Dat is dus het verschil van beide y-waarden, ofwel Δy: het blauwe lijnstukje in de grafiek hiernaast.

Het aantal uur was 6 en dat vonden we door 9 - 3 te berekenen. Dat is dus het verschil van beide x-waarden, ofwel Δx:  het groene lijnstukje in de grafiek. De gemiddelde toename hebben we berekend als Δy/Δx en die kennen we nog van vroeger: het is de helling van de lijn tussen beide punten.
Conclusie:  de helling van de rode lijn is 0,75
De gemiddelde toename tussen twee punten van een grafiek is  de helling van de rechte lijn daartussen.

Deze gemiddelde toename heet ook wel het differentiequotiënt.
Als je een formule voor de grafiek hebt, dan hoef je de y-waarden natuurlijk niet af te lezen maar kun je ze gewoon berekenen, dat is veel nauwkeuriger.

Dit is allemaal hetzelfde:
• gemiddelde toename tussen punt A en punt B
• differentiequotiënt op interval  [xA, xB]
• helling van lijnstuk AB
•
•
1. Gegeven is de functie  f(x) = 4x + 2√x .
Bereken het differentiequotiënt op interval [3, 8] in twee decimalen nauwkeurig.
 

4,44
2. Gegeven is de functie f(x) = 5x - 2/x
Bereken het differentiequotiënt op interval [-5, -2] in twee decimalen nauwkeurig.

5,00
3. Hiernaast zie je een deel van de grafiek van een functie f(x).

a. Bereken de gemiddelde toename tussen x = 6 en x = 12 .
b. Bereken het differentiequotiënt op interval [2, 12].
c. Er is een interval [0, p] waarop het differentiequotiënt gelijk is aan  het differentiequotiënt op interval [0,9].
p = 9 is natuurlijk een mogelijkheid, maar welke waarde kan p nog meer hebben?
d. Op welk interval [2, q] is het differentiequotiënt gelijk aan  11/2?
e. Bij welke x is de gemiddelde toename vanaf x = 2 maximaal?
4. Hiernaast zie je een toenamendiagram van een bepaalde grafiek.
Bereken zonder die grafiek te tekenen het differentiequotiënt op interval [2,8].

5. Hiernaast staat de grafiek van een functie f.

     
a. Bereken de gemiddelde toename tussen x = 3 en x = 8
     
b. Noem drie intervallen waarop het differentiequotiënt gelijk is aan nul.
       
6. Het aantal personen in Nederland dat een I-pad heeft is volgens verwachting te beschrijven met de formule:

N = -0,005t3 + 0,0006t2 + 0,5t + 2

Hierin is N in miljoenen en de tijd t in jaren met t = 0 op 1 januari 2004.
     
  a. Bereken met de formule het differentiequotiënt op interval [1, 3]
     
  b. Hoe lang was het aantal mensen met een I-pad groter dan 2,5 miljoen?
     
  c. Er is vanaf t = 2 een interval [2, p] te vinden zodat de gemiddelde toename gelijk is aan  0,2 (miljoen per jaar)
Bepaal met de figuur hiernaast voor welke p dat zo is
       
7. examenvraagstuk wiskunde A, VWO, 1983.
       
 

       
  Hierboven staat een grafiek uit het tijdschrift 'U.S. News and World Report' van 7 april 1975. De Engelse tekst erbij, vrij vertaald, luidt:  ''Ernstige misdaden nemen sneller toe dan ooit'.

Ga er bij beantwoording van de volgende vragen vanuit dat je de aantallen misdaden kunt aflezen uit de grafiek, door het midden van de dikke lijn te nemen.
       
  a. Hoe kun je aan de grafiek zien dat het aantal misdaden in het laatste jaar van de periode 1960-'74 inderdaad sneller is gestegen dan ooit tevoren in die periode?
       
  b. In een ander tijdschrift stond een grafiek van het aantal misdaden in de V.S. afgebeeld met 'drie jaar' in plaats van 'één jaar' als klassenbreedte en met de meetpunten 1962, '65, '68, '71 en '74.
Wekt de grafiek in dat tijdschrift ook de indruk van een versnelde stijging van het aantal misdaden aan het eind van de periode 1960-'74?
       
Speciaal geval:  Als y  de afstand voorstelt en x de tijd.
In de grafiek hiernaast staat op de x-as de tijd dat iemand aan het fietsen is, en op de y-as de afstand die hij heeft afgelegd.
We berekenen het differentiequotiënt tussen x = 20 en x = 60
Bij x = 20 hoort ongeveer y = 2 en bij x = 60 hoort ongeveer  y = 15
Dat geeft voor het differentiequotiënt  (15 - 2)/(60 - 20) = 13/40 = 0,325

Die 0,325 is dus de totale afgelegde afstand (13 km) gedeeld door de totale tijd (40 minuten).  In dit geval 0,325 km per minuut. Maar dat is de snelheid (immers snelheid is afstand gedeeld door tijd)
Kortom, de gemiddelde snelheid tussen 20 en 60 minuten is 0,325 km/min. (dat is 19,5 km/uur)

Bij een tijd-afstand grafiek is het differentiequotiënt
de gemiddelde snelheid.
8. Hiernaast zie je de grafiek van twee joggers (mevrouw A en mevrouw B) die hetzelfde parcours lopen. Zoals je ziet vertrekt mevrouw B later dan mevrouw A.

     
a. Bereken de gemiddelde snelheid van mevrouw A gedurende het eerste half uur dat zij loopt.
     
b. Doe het zelfde voor mevrouw B.
   
De beide dames hebben een loophorloge om met GPS functie. Dat horloge geeft o.a. hun gemiddelde snelheid vanaf het begin aan, en ook hun directe snelheid op dit moment.

c. Op welk moment tijdens haar loop geeft het horloge van mevrouw A de grootste gemiddelde snelheid aan?
   
d. Op het moment dat mevrouw B mevrouw A inhaalt geeft haar horloge een grotere waarde aan dan dat van mevrouw A. Leg uit hoe je dat direct aan de grafiek kunt zien.
Lees vervolgens uit de grafiek af wanneer het horloge van mevrouw A ook zo hoog heeft gestaan.
9. Annelies en haar broer Gerben gaan met de fiets naar school.
De afgelegde weg s als functie van de tijd t staat in de grafiek hieronder.		  
           
 

           
  a. Bereken voor Annelies de gemiddelde snelheid op de intervallen [0,4] en [4,6]. Verklaar je antwoorden.
           
  b. Wie rijdt de eerste twee minuten gemiddeld het snelst?
           
  c. Wie rijdt tussen t = 1,5 en t = 3 het snelst? Hoe zie je dat aan de grafiek?
           
  d. Wanneer passeert Gerben Annelies? Hoe zie je aan de grafiek dat hij op dat moment sneller rijdt?
           
           
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)