groeifactor andere tijdseenheid

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Groeifactoren bij andere tijdseenheden.

Eigenlijk moet je eerst nog een keer de les over gebroken machten lezen....
Laten we gaan proberen een formule te maken bij onderstaande tabel.

x	5	8	11	14
y	47,19	193,27	791,65	3242,59

et lijkt erop dat deze tabel een exponentiële functie beschrijft, want de factoren zijn achtereenvolgens: ^193,27/_47,19 = 4,096 en ^791,65/_193,27 = 4,096 en ^3242,59/_791,65 = 4,096 en die zijn allemaal gelijk.
Toch is 4,096 niet de groeifactor g die bij deze tabel hoort!

Waarom dan niet?

Dat komt omdat de x-waarden niet stapjes van één nemen, maar stapjes van drie. En de groeifactor g is het getal waarmee je y vermenigvuldigt als x één toeneemt. Hoe vinden we de g voor een stapje van één?
Nou simpel, denk de rest van de tabel erbij:

x	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
y	47,19	....	....	193,27	....	....	791,65	....	....	3242,59

Omdat deze tabel stapjes van één neemt, zijn de getallen waarmee de y-waarden worden vermenigvuldigd wél gelijk aan de groeifactor g. Kijk bijvoorbeeld tussen x = 5 en x = 8 hiernaast.
Daarin zie je dat ×g ×g ×g precies hetzelfde moet zijn als ×4,096
Dat betekent dat g³ = 4,096
Ofwel:

omdat stapjes van 3 zijn genomen vinden we g³

Hoe maken we daar g van?

Da's makkelijk. Bedenk dat geldt (g^a)^b = g^ab
Dus als we g³ tot de macht ¹/₃ doen, dan blijft er g over, kijk maar: (g³)^1/3 = g^{3 • 1/3} = g¹ = g
Daarom doen we beide kanten van de vergelijking g³ = 4,096 tot de macht ¹/₃.
Dat geeft dan g = 1,046^1/3 = 1,6.

gⁿ = p ⇒ g = p^1/n

Beroemd voorbeeld.

Een toepassing is het berekenen van groeifactoren bij andere tijdseenheden. Het belangrijkste voorbeeld is:

Een bank geeft 9% rente per jaar. Hoeveel rente per maand is dat?

DE FOUTE OPLOSSING:
omdat een jaar 12 maanden heeft komt dat neer op ⁹/₁₂ = 0,75% per maand.

DE GOEDE OPLOSSING
in een heel jaar wordt ons bedrag vermenigvuldigd met 1,09 (de groeifactor per jaar is 1,09).
stel dat de groeifactor per maand gelijk is aan g, dan heeft twaalf keer met g vermenigvuldigen dus het zelfde effect als met 1,09 vermenigvuldigen. Dus g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g = 1,09
Dus g¹² = 1,09. Neem nu beide kanten tot de macht ¹/₁₂: g = 1,09^1/12 = 1,0072
De rente per maand is dus 0,72%

In het algemeen.

Als je van grotere naar kleinere tijdseenheid gaat moet je doen g^1/n

Als je van kleinere naar grotere tijdseenheid gaat moet je doen gⁿ

OPGAVEN

Geef de groeifactor bij de volgende tabellen:

x	6	10	14	18
y	5,80	1,39	0,33	0,08

x	2	7	12	17	22
y	3,2	3,7	4,3	5,0	5,8

x	8,0	9,5	11,0	13,5	15,0
y	3,44	2,46	1,76	1,26	0,90

x	6,8	9,1	11,4	13,7	16,0
y	10,12	8,67	7,42	6,36	5,44

Geef de groeifactor in de volgende gevallen.

De groeifactor per dag is 12,3. Hoe groot is de groeifactor per minuut?

De groeifactor per minuut is 1,08. Hoe groot is de groeifactor per kwartier?

De groeifactor per dag is 9. Met hoeveel procent neemt het per uur toe?

Iets neemt af met 2,4% per minuut. Wat is de groeifactor per uur?

Iets neemt toe met 42% per week, hoe groot is de groeifactor per dag?

Iets verdubbelt elke dag. Hoeveel procent toename is dat per uur?

Een stuiterende bal komt bij elke keer stuiten minder hoog van de grond.
Elke stuit is een vast percentage lager dan de vorige.
Na vijf keer stuiten kwam de bal nog maar tot de helft van de oorspronkelijke hoogte waarop hij was losgelaten.
Hoe hoog kwam de bal de zesde keer?

Een jong vogeltje dat net uit het ei is gekropen wordt door de ouders flink gevoed.
Daardoor groeit zijn gewicht de eerste dagen met vaste groeifactor per dag.
Het gewicht van een pasgeboren koolmeesje is 17 gram, maar dat is na een week al gegroeid tot 22 gram
Als je uitgaat van exponentiële groei, kun je berekenen dat het gewicht dagelijks met ongeveer 3,75% groeit.

Bereken dit percentage in drie decimalen nauwkeurig.

Een gewicht dat dagelijks 3,75% groter wordt, zou na een maand van 30 dagen al fors gegroeid zijn.
Bereken het groeipercentage per maand van 30 dagen.