hoek tussen twee vlakken


De hoek tussen twee vlakken.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Ook bij twee vlakken kun je het hebben over de hoek ertussen, Neem bijvoorbeeld de serie vlakken in de piramide hiernaast die als gemeenschappelijk scharnier de lijn TC hebben.
Als je de hoek van zo'n vlak met vlak TBC bekijkt dan zal waarschijnlijk iedereen het er wel over eens zijn dat die hoek groter wordt als het nummer van het vlak groter wordt. Immers dan "zit er meer ruimte" tussen beide vlakken.
Maar hoe groot ís die hoek nou precies? Hoeveel graden? Waar moet je hem meten? Wat ís die "ruimte"?

In ieder geval moet je een lijn uit het ene vlak nemen en een lijn uit het andere vlak en daartussen de hoek meten. Het hoekpunt van die hoek zal dus op de snijlijn van beide vlakken liggen.
Maar je kunt niet zomaar een lijn uit het ene vlak nemen en een lijn uit het andere vlak en dan de hoek daartussen uitrekenen.

Dat kun je wel zien in de figuur hieronder.
Er staan twee vlakken die elkaar snijden volgens de groene snijlijn.
Daar zie je allemaal "paren" rode lijnen in de twee vlakken, met allemaal verschillende hoeken daartussen.

Het is om hopeloos van te worden.
Welke lijnen en welke hoek moet je nemen?

Als je bijvoorbeeld de hoek tussen het linkerzijvlak en het achtervlak van een piramide wilt berekenen, dan zijn er erg veel mogelijk hoeken. Hiernaast zie je al een hele serie zulke hoeken, waarvan de benen steeds door twee hoekpunten van de piramide gaan. Elk groen vlak geeft een andere rode hoek. Die rode hoek is echt niet steeds even groot hoor. In het begin is hij zo te zien 90º, maar op het eind hangt het ervan af van hoe hoog de piramide is.

Welke van al die rode hoeken is nou de goeie? Of zit de goeie er niet eens bij??

De normaalvector.

Het probleem is dat er in een vlak zovéél richtingen te vinden zijn. Het wemelt ervan. Geen enkele van de hiernaast getekende rode richtingen is uniek of speciaal voor het vlak.
En toch is er wel een richting te vinden die uniek voor het vlak is.

Die ligt alleen niet IN dat vlak!!!!

In de onderste figuur zie je die unieke richting getekend. Het is de richting loodrecht op het vlak. Die blauwe pijl staat loodrecht op al de rode pijlen. Deze richting heet de normaalvector van het vlak. (Hij kan ook naar onderen getekend worden, maar dat maakt voor het vervolg niets uit)

Omdat dit de enige richting is die uniek voor het vlak is, maken we de afspraak:

De hoek tussen twee vlakken is de hoek tussen hun normaalvectoren.

De hoek tussen het rode en het groene vlak hiernaast is dus de hoek tussen die twee blauwe pijlen. Dat zijn de normaalvectoren en die staan loodrecht op de vlakken.

Om die hoek te meten moeten we eerst beide pijlen verplaatsen zodat ze elkaar tenminste snijden. Dat kan het handigst door beiden naar de snijlijn toe te verplaatsen, zoals je hieronder ziet. De hoek tussen beide lijnen (en dus tussen beide vlakken) is dan die gele hoek

Maar omdat de beide normaalvectoren nu buiten de vlakken liggen is het vaak niet zo handig om deze hoek te gaan berekenen. Het zou handiger zijn een hoek te kunnen berekenen van lijnen IN de vlakken.
Daar hebben we de volgende truc op gevonden: we draaien beide normaalvectoren samen tegelijk om de snijlijn over een hoek van 90º. Daarbij blijft de hoek tussen beiden gelijk, maar omdat ze eerst loodrecht op het vlak stonden zullen ze na draaien over 90º in het vlak liggen.

Die gele hoek aan het eind is dus dezelfde als aan het begin.

Wat hebben we hiermee bereikt?

We kunnen de hoek tussen twee vlakken nu aangeven als de hoek tussen twee lijnen uit die vlakken. Omdat de lijnen oorspronkelijk loodrecht op de snijlijn stonden (het waren immers normaalvectoren), en omdat we draaiden om die snijlijn, staan de eindlijnen nog steeds loodrecht op de snijlijn.

En andersom geldt het ook: als je twee lijnen die loodrecht op de snijlijn staan over 90º gaat draaien om die snijlijn, dan is het resultaat twee normaalvectoren. Dat kun je zó zien: de resultaatlijnen staan loodrecht op de snijlijn en ook op hun oorspronkelijke beeld. En omdat ze dus loodrecht staan op twee lijnen uit de vlakken, moeten het wel de normaalvectoren zijn.

Er is maar één conclusie mogelijk:

De hoek tussen twee vlakken is gelijk aan de hoek tussen twee lijnen die loodrecht op de snijlijn staan

Het wordt natuurlijk de kunst om die lijnen een beetje handig te kiezen zodat het rekenwerk meevalt.
Het vlak waar die beide lijnen in liggen en dat dus loodrecht op de snijlijn staat heet trouwens een standvlak. En de uiteindelijke berekening van de hoek zal in dit vlak plaatsvinden.

Hoogste tijd om te gaan oefenen dus!!!!!

Makkelijk voorbeeld

T.ABCD is een piramide met als grondvlak een vierkant met zijden 6, en als hoogte TS = 8. Bereken de hoek die het voorvlak met het grondvlak maakt.

De snijlijn is lijn AB. We zoeken dus twee lijnen die loodrecht op AB staan. In vlak TAB is dat lijn TM omdat TAB een gelijkbenige driehoek is. In vlak ABCD is dat dan MS. De gezochte hoek is dus hoek TMS.
Omdat MS = 3 en TS = 8 geldt tan(TMS) = ⁸/₃
Daaruit volgt dat hoek TMS gelijk is aan 69,4º

Ingewikkeld Voorbeeld.

Bereken in een kubus met ribben 4 de hoek tussen de vlakken BEG en EDCF:

De snijlijn is ES, dus we gaan op jacht naar twee lijnen loodrecht op ES. Eentje in vlak EBG en eentje in vlak EDCF.

Die in EBG is eenvoudig: dat is BG, want omdat EBG een gelijkzijdige driehoek is staat ES loodrecht op BG.

In de rechterfiguur kijken we naar vlak EDCF. We zijn op zoek naar punt P zodat PS loodrecht op ES staat.
Uit gelijkvormigheid geldt dat ^PC/_CS = ^SF/_FE dus PC = CS • ^SF/_FE = 2√2 • ^2√2/₄ = 2
Kennelijk is P het midden van DC!

De gevraagde hoek tussen beide vlakken is nu de hoek tussen PS en BG, bijvoorbeeld hoek PSB.
PS² = 2²+ (2√2)² = 12 dus PS = √12
SB = 0,5BG = 0,5 • 4√2 = 2√2 = √8
PB = √(2² + 4² ) = √20
De cosinusregel levert dan 20 = 12 + 8 - 2 • √12 • √8 • cosα en daaruit volgt eenvoudig dat α = 90º

OPGAVEN

Hieronder staat drie keer een kubus ABCD.EFGH met ribben 4.

Bereken de hoek tussen AEGC en DEG

35,3º

P ligt op DH zodat PH = 1 en Q ligt op DC zodat QC = 1.
Bereken de hoek tussen de vlakken APQ en DCGH

62,1º

Bereken de hoek tussen de vlakken AHC en EDCF

90º

Hieronder staat drie keer een piramide T.ABCD getekend. T ligt recht boven punt D. Het grondvlak is een vierkant met zijden 6, en ook TD = 6

Bereken de hoek tussen de vlakken TAB en TDC.

45º

Bereken de hoek tussen de vlakken TAC en TDC.

54,7º

Bereken de hoek tussen de vlakken TAC en TDB.

90º

Hieronder staat drie keer een piramide T.ABCD getekend waarvan alle ribben lengte 8 hebben.

Toon aan dat hoek BTD recht is, en bereken vervolgens de hoek tussen de vlakken TDB en TAD.

54,7º

Bereken de hoek tussen de vlakken TAD en TAB

70,5º

M is het midden van TC. Bereken de hoek tussen de vlakken TAC en DBM.
Bedenk daarbij dat hoek ATC recht is (zie vraag a)).

90º

Hieronder staat drie keer een prisma ABC.DEF met alle ribben lengte 6.

Bereken de hoek tussen de vlakken ACE en ABC

49,1º

Bereken de hoek tussen de vlakken ABF en CBEF

67,8º

M is het midden van CF. Bereken de hoek tussen de vlakken AME en CBEF

52,2º