© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Symmetrie bij impliciete vergelijkingen.
   
Om symmetrie te onderzoeken moeten we eerst maar eens even bekijken wat symmetrie nou eigenlijk inhoudt.
Neem de kromme hiernaast, die zo te zien symmetrisch is in de y-as.

De vergelijking ervan is trouwens   y2(16 - x2) = (x2 + 8y - 4)2

Dat de kromme symmetrisch is in de y-as, betekent dat voor elk punt P(x, y) aan de ene kant van de y-as er ook een punt Q(-x, y) te vinden is aan de andere kant.

Maar als P op de kromme ligt, betekent dat, dat x en y voldoen aan de vergelijking van K. Dat Q op de kromme ligt, betekent dat  -x en y óók voldoen aan de vergelijking van K.

   
De kromme is symmetrisch in de y-as als bij elk punt P zo'n punt Q te vinden is.
Dat betekent, dat altijd als (x, y) voldoen aan de vergelijking, dat dan ook (-x, y) voldoen aan de vergelijking. Immers dan bestaat er bij elk punt P zo'n spiegelpartner Q.
P voldoet betekent:   y2(16 - x2) = (x2 + 8y - 4)2    want dat is de vergelijking voor (x, y)
Q voldoet betekent:   y2(16 - (-x)2) = ((-x)2 + 8y - 4)2  want dat is de vergelijking voor (-x, y).

Maar de onderste vergelijking vereenvoudigt makkelijk ook tot   y2(16 - x2) = (x2 + 8y - 4)2
Dus dat betekent dat, als P bestaat, dat dan ook Q bestaat. Dus is de kromme symmetrisch in de y-as.
Hoe hebben we dat nou bewezen:
 
symmetrie in de y-as:
• vervang (x, y) door (-x, y)
• laat zien dat de vergelijking daardoor ongewijzigd blijft.
 

Andere symmetriegevallen.

Natuurlijk zijn er veel meer symmetriegevallen te vinden. Hieronder zie je een aantal plaatjes van verschillende soorten symmetrie.
Bij elk plaatje is aangegeven wat de symmetrie betekent voor een punt P en zijn "partner" Q.

   

   
In de volgende tabel staat nog eens samengevat hoe je symmetrie kunt bewijzen.
   
   symmetrie   

de vergelijking is hetzelfde
voor de punten:
x-as (x,  y)  en  (x, -y)
y-as (x,  y) en (-x,  y)
x = a (a + x,  y) en  (a - x,  y)
y = a (x,  a - y) en  (x,  a + y)
oorsprong (x,  y) en  (-x, -y)
(a, b) (a + x, b + y)  en  (a - x, b - y)
y = x (x,  y)  en  (y,  x)
y = -x (x,  y)  en  (-y,  -x)
   
   
  OPGAVEN
   
1. Toon aan dat  x3 + y3 = 3xy  symmetrisch is ten opzichte van de lijn y = x.
   
2. Toon aan dat  y3x = 8 - 6y2  symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong.
   
3. Toon aan dat  2x3 + 2xy2 - 8xy + y2 - 3x2 + 8x - 4y + 4 = 0 symmetrisch is ten opzichte van de lijn y = 2.
       
4. Toon aan dat x4 - 4x3 + 5x2 - 2x + y2 - 6y + 9 = 0  symmetrisch is ten opzichte van het punt (1,3).
       
5. Gegeven is de kromme K door:  x2y - xy2 = 2
       
  a. Toon aan dat K symmetrisch is ten opzichte van de lijn y = -x
       
  b. Geef vergelijkingen van de asymptoten van K.  
       
  c. Welke lijnen door de oorsprong hebben géén punt met K gemeenschappelijk?
       
       
6. Gegeven is de kromme K door:  (x + y)2 = 2(x - y).
       
  a. Bereken de snijpunten van K met de coördinaatassen.  
       
  b. Geef de vergelijkingen van de asymptoten van K.
       
  c. Schets kromme K.  
       
  d. Bewijs de symmetrie van K.  
       
7. Als een kromme symmetrisch is in de x-as én in de y-as, dan is hij ook symmetrisch in de oorsprong.
Leg duidelijk uit hoe dat uit bovenstaande regels volgt.
       
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1986.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door de vergelijking:
x3 - 4x2 + 4x + y2 = 16.
       
  a. Bewijs dat de x-as symmetrie-as is van K.
       
  b. Welke waarden kan de x-coördinaat van de punten van K aannemen?
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)