Optellen of Vermenigvuldigen?

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Wat moet je met kansen doen als meerdere dingen tegelijk gebeuren?

Bijvoorbeeld:  Je gooit  twee keer een dobbelsteen en je noteert beide aantallen ogen.
Hoe groot is de kans dat het eerste getal groter is dan 4, en dat bovendien de som van de ogen gelijk is aan 10?
Notatieafspraak:

"Kans" noteren we voortaan met de letter P

De gevraagde kans noteren we dus als  P(eerste groter dan 4  én som 10)
P(eerste groter dan 4) = 12/36, want van de 36 mogelijke uitkomsten zijn er 12 met de eerste steen groter dan 4. Zie het roosterdiagram hiernaast.
Maar nu komt als tweede voorwaarde dat de som 10 moet zijn.
Dan gaat het erom hoeveel van de rode paren hiernaast als som 10 opleveren.
Dat zijn er 2 van de 12  zoals je ziet (55 en 64). De kans dat de som NU nog 10 is, is 2/12.
De totale kans van de gecombineerde gebeurtenissen is dus 2/36.

Die 2/36 kun je ook als volgt uitrekenen:
•  Bij de eerste stap blijft  12/36 deel van het totaal over.
•  Bij de tweede stap blijft van die 12/36 deel nog maar 2/12 deel over
•  Uiteindelijk is dan overgebleven 2/12 van 12/36 van het totaal, en dat is  2/12 • 12/36  = 2/36 van het totaal. 
Merk op dat de kans op som 10 oorspronkelijk gelijk was aan  3/36  maar nadat de eerste al groter dan 4 moest zijn is deze kans veranderd in 2/12 .  Daar moet je wel rekening  mee houden!
Je mag dus zeggen:   P(eerste meer dan 4 én som 10) = P(eerste meer dan 4) • P(som 10)  maar alleen als je die kans op som 10 in de nieuwe situatie uitrekent.  Conclusie:
P(A én B) = P(A) • P(B)    waarbij  P(B) voor de nieuwe situatie moet worden berekend
Speciaal Geval.
In sommige gevallen kun je de oorspronkelijk kans op B nemen, en hoef je hem niet opnieuw uit te rekenen.
Bijvoorbeeld:
Gooi twee keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat het eerste getal groter is dan 4 én dat het tweede getal even is.

Als we onze regel toepassen dan zien we P(eerste meer dan 4) = 12/36
En daarna P(tweede even ) = 6/12 = 1/2 want de helft van de 12 rode paren heeft een blauw tweede getal. 
De kans wordt dus 12/36 • 1/2 = 1/6
Maar de kans vooraf op een tweede getal even was óók 1/2.
Van de tweede steen is immers de helft even....

Dus van het totaal is de kans 1/2 maar van alleen de rode paren ook!
Hoe komt dat?
De reden is dat de gebeurtenissen  "eerste steen meer dan 4" en "tweede steen even" elkaar niet beïnvloeden. De eerste steen heeft geen invloed op de tweede, daarom is de kans op tweede steen even onveranderd gebleven, wát de eerste steen ook heeft opgeleverd. Zulke gebeurtenissen die elkaar niet beïnvloeden noemen wiskundigen onafhankelijk.
In de regel P(A en B) = P(A) • P(B)  hoef je, als A en B onafhankelijk van elkaar zijn, die tweede P(B) dus niet in de nieuwe situatie opnieuw uit te rekenen omdat hij toch gelijk is aan de oorspronkelijke. Dat scheelt tijd.
We veranderen de regel daarom in:
P(A én B) = P(A) • P(B)    - waarbij  P(B) voor de nieuwe situatie moet worden berekend
                                           - maar als A en B onafhankelijk zijn kun je de oorspronkelijke P(B) nemen
   
  OPGAVEN
   
1. Bereken de volgende kansen.
Doe dat, indien mogelijk, met de oorspronkelijke kansen, dus zonder de kans in de nieuwe situatie uit te rekenen.
a. Bereken de kans dat je met een dobbelsteen 2 keer achter elkaar meer dan 4 gooit.

1/9
b. De beide schijven hiernaast worden gedraaid. Het getal bij de pijl wordt afgelezen.
Bereken de kans dat beide getallen even zijn.

3/32
c. De totale schijf hiernaast bestaat uit 7 gebieden met een getal erin. Hij wordt gedraaid.
Nadat hij tot stilstand is gekomen worden er twee getallen bij de pijl afgelezen.
Bereken de kans dat die beide getallen even zijn.

5/12
d. De kans dat ik voor wiskunde een voldoende haal is 70%, de kans dat ik voor Frans een voldoende haal is 40%. Hoe groot is de kans dat ik voor beide vakken een voldoende haal?

28%
e. Ik kies een willekeurig geheel getal kleiner dan 40 (en groter dan nul).
Hoe groot is de kans dat dat getal groter dan 20 is, en bovendien deelbaar door 3?
     

7/39
2. De kans dat het op een willekeurige dag in september regent is in Nederland gelijk aan  0,6.
De kans dat het op twee dagen achter elkaar regent is gelijk aan  0,48.
Zijn de gebeurtenissen  "Het regent vandaag" en "Het regent morgen" voor een willekeurige dag in september onafhankelijk van elkaar of niet?
 

niet
   
3. Mijn oom Egbert neemt altijd als hij gaat vliegen een pistool mee het vliegtuig in. Hij heeft namelijk eens ergens gelezen dat de kans dat er iemand met een pistool in het vliegtuig zit ongeveer 0,000001 is. Maar de kans dat er TWEE mensen tegelijk met een pistool in hetzelfde vliegtuig zitten is veel en veel kleiner!  Daarom is het veiliger zelf een pistool mee te nemen, want dan is de kans dat er nog een ander met een pistool is dus veel en veel kleiner.
Geef wiskundig commentaar.....
   
4. Vergelijking van Drake.
Frank Drake is een Amerikaans astronoom en astrofysicus die in 1961 een vergelijking opstelde om uit te rekenen hoeveel buitenaardse beschavingen er in onze melkweg contact met ons via radiogolven zouden kunnen maken.. Hij maakte daarbij de volgende (erg ruwe) schattingen;
  •
•
•
•
•
•		 het aantal "zonachtige"sterren in ons melkwegstelsel is ongeveer 1,5 • 1011
50% van de sterren heeft planeten.
wetenschappers schatten het percentage van alle planeten waarop leven kán ontstaan op 0,1%-0,2%
een schatting voor het aantal van deze levensvormen dat intelligent is, is tussen de 0,1 en 0,5%
van deze intelligente beschavingen zal tussen de 10% en 20% met radiogolven kunnen communiceren
hoeveelste deel van het bestaan van ons melkwegstelsel zal een beschaving bestaan en radiogolven kunnen gebruiken? Men schat  dat zo'n beschaving ongeveer 1 miljoen jaar zal duren.
Ons melkwegstelsel zal ongeveer 10000000000 jaar bestaan, dus de kans dat een beschaving met de onze zal overlappen is daarom ongeveer 0,0001.
     
  Maak met deze gegevens een pessimistische en een optimistische schatting voor het aantal buitenaardse beschavingen uit onze melkweg dat ooit met onze beschaving zou kunnen communiceren.
     
5. Ik sta voor de schiettent op de kermis en wil graag een grote speelgoedbeer winnen.
Als ik een kaartje koop dan mag ik 5 keer schieten. Alleen als ze allemaal raak zijn krijg ik die prachtige beer.
Nou weet ik dat de kans dat ik raak schiet per schot gelijk is aan 40%.
De kans dat ik bij een spel die beer win is ongeveer 0,01
     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Hoe groot is de kans dat ik met het vierde spel dat ik speel de beer zal winnen?
   

0,0097
  c. Als ik vooraf meteen moet beslissen hoeveel kaartjes ik wil, hoeveel kaartjes zal ik dan moeten kopen zodat de kans op die beer minstens 50% is?
   

69
     
6. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1993.
     
  Aanstekers zijn niet allemaal even goed: de ene aansteker heeft een grotere kans om een vlam te geven dan de andere. Zo'n kans noemen we de vlamkans. Neem aan dat voor iedere aansteker geldt dat de vlamkans bij iedere poging gelijk is en onafhankelijk is van eerdere pogingen.

Stel dat een aansteker een vlamkans heeft van 0,8. In het histogram hieronder is voor k = 1, 2, en 3 aangegeven hoe groot de kans is dat deze aansteker pas bij de k-de poging voor het eerst een vlam geeft.
     
 

     
  a. Bereken de kansen die behoren bij k = 2 en k = 3.
     
  Voordat een aansteker de fabriek verlaat wordt hij getest. Bij de test wordt de aansteker goedgekeurd als hij in maximaal drie pogingen een vlam geeft.

Stel weer dat een aansteker een vlamkans heeft van 0,8. Deze kans is vrij hoog, maar dat betekent nog niet automatisch dat die aansteker goedgekeurd wordt.
     
  b. Bereken de kans dat die aansteker goedgekeurd wordt.
     
  c. Bij welke vlamkans is de kans dat een aansteker afgekeurd wordt 5%? Licht je antwoord toe.
     
7. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1999.
     
  Het smaakzintuig (de tong) kan de vier smaken zoet, zout, bitter en zuur onderscheiden. Natuurlijk kunnen er met de tong ook samenstellingen van dit viertal onderscheiden worden. Zo kan bijvoorbeeld het verschil tussen bitter-zout en bitter-zuur geproefd worden. Er is echter geen verschil tussen samenstellingen als zoet-zuur en zuur-zoet.
     
  a. Hoeveel verschillende samenstellingen zijn er mogelijk van twee of meer smaken? Licht je antwoord toe.
     
  Wat we de smaak van voedsel noemen is in feite grotendeels de geur. Onze neus kan enorm veel verschillende geuren onderscheiden.
De Vrije Universiteit Brussel heeft onlangs een onderzoek gedaan naar het reukvermogen. Bij dit onderzoek kreeg een proefpersoon steeds twee flesjes om aan te ruiken. Eén flesje bevatte een kleine hoeveelheid bananengeurstof. Het andere flesje bevatte reukloze lucht. De proefpersoon moest aangeven in welk flesje de geurstof zat. Om te voorkomen dat gokken een grote rol speelde, moest de proefpersoon vijfmaal achtereen uit een dergelijk tweetal flesjes het flesje met de geurstof kiezen.
     
  b. Hoe groot is de kans dat iemand die absoluut geen geuren kan ruiken (en dus alles moest gokken) toch vijf maal het juiste flesje aanwees? Licht je antwoord toe.
     
  Als de proefpersoon ten minste één van de vijf keer het verkeerde flesje koos, ging men over op een serie flesjes met een grotere concentratie geurstof. In dit onderzoek kon de concentratie zes keer vergroot worden. Er waren dus zeven series met telkens vijf geurloze flesjes en vijf flesjes met bananengeurstof. Bij serie A was de concentratie geurstof in de flesjes erg klein, bij serie B iets groter, enzovoort tot serie G met de grootste concentratie geurstof.
Iemand die zelfs bij serie G niet in staat was om vijf keer het juiste flesje aan te wijzen werd als niet-ruiker bestempeld.
     
  c. Hoe groot is de kans dat iemand die absoluut geen geuren kan ruiken ook werkelijk als niet-ruiker uit deze test kwam? Licht je antwoord toe.
     
8. In de komische TV-serie "The Big Bang Theory" komt de volgende discussie tussen twee vrienden, Sheldon en Leonard, voor. Het zijn nogal Nerds!
     
    Leonard:   "Je raadt nooit wie ik vandaag tegenkwam"
Sheldon:  "Mohammed Li"
Leonard:  "Huh?"
Sheldon:  "Aangezien 'Mohammed' de meest voorkomende voornaam is, en 'Li' de meest voorkomende achternaam lijkt mij 'Mohammed Li' de wetenschappelijk meest verantwoorde keuze"
     
  Leg duidelijk uit welke wiskundige denkfout Sheldon hier maakt.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)