wetten van Kirchhoff


De wetten van Kirchhoff	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gustaf Robert Kirchhoff hield zich zo rond 1850 bezig met spanning (met de eenheid V van Volt) en stroom (met de eenheid A van Ampère) door weerstanden (met de eenheid Ω van Ohm) in elektrische circuits.

Nou werd hij daarbij nogal geholpen door zijn beroemde voorganger Georg Ohm, die in 1826 een heel belangrijk verband tussen de stroomsterkte (I) door een weerstand (R) en de spanning (V) over die weerstand formuleerde:

V = I • R

Zoals je hierboven ziet is er over deze "wet van Ohm" zelfs een postzegel in Duitsland uitgegeven (Met U in plaats van V)
Maar goed, dat is nou ook weer een beetje overdreven van die Duitsers, want deze wet zegt eigenlijk alleen iets over de stroom en de spanning bij één weerstand.
Kirchhoff zag dit alles in een veel groter verband. Hij beschouwde netwerken van meer weerstanden, en leidde daar twee wetten voor af. Met deze twee wetten samen kun je alle spanningen en stromen in een netwerk van weerstanden berekenen.

Tenminste als je genoeg wiskundekennis hebt natuurlijk....

1. De stroomwet van Kirchhoff.

Kirchhoff bedacht het volgende:
Als je in een netwerk van weerstanden en spanningsbronnen nou eens één knooppunt bekijkt, en alle stromen opschrijft die naar dat knooppunt toelopen. (ze zijn dan negatief als ze de andere kant op gaan).
Dan moet de som van al die stromen gelijk zijn aan nul.
Waarom? Nou, een stroom is een hoeveelheid elektronen die een kant op bewegen. Als in een knooppunt de stromen niet samen nul zouden zijn, dan zouden in dat knooppunt de elektronen zich meer en meer gaan ophopen (of juist ontbreken). En dat kan natuurlijk niet alsmaar doorgaan; dan zou de zaak ontploffen!!!!
Daarom moet voor elk knooppunt in een evenwichtstoestand gelden:

De som van de stromen naar elk knooppunt is NUL

2. De spanningswet van Kirchhoff.

Verder bekeek Kirchhoff een LUS van een elektrisch circuit. Dat is een route die in een bepaald punt begint en daar ook weer eindigt. Een rondje dus.
Hij redeneerde:

"Omdat de spanning in het beginpunt en het eindpunt van de lus hetzelfde is (het is immers hetzelfde punt), moeten alle spanningsverschillen in de lus opgeteld samen NUL opleveren"

Nou kun je in een lus twee soorten spanningsverschillen tegenkomen:
• Bij een spanningsbron is het spanningsverschil gegeven.
• Bij een weerstand is het spanningsverschil V = I • R (de wet van Ohm).

Bedenk steeds wel dat de stromen van + naar - gaan. Dat verklaart het minteken van V in de vergelijking bij de figuur . Immers als je de lus ronddraait in de aangegeven richting gaan de stromen van + naar -, maar de spanningsbron van - naar +.

Combineren maar...

Kirchhoff bedacht toen het volgende (je moet er maar opkomen...):

En het goede nieuws voor Kirchhoff is: "Je kunt die inderdaad oplossen!"

In het volgende voorbeeld zie je het geweldige systeem van Kirchhoff in werking.

Het is een circuit met vijf weerstanden met grootte 1, 1, 2, 2 en 3 Ω en een spanningsbron van 20V.

De vraag is: hoeveel stroom loopt er door al die draden?

Je denkt misschien dat je met je natuurkundekennis van parallelle en serie vervangingsweerstanden alles best kunt uitrekenen, maar dat zal je tegenvallen. Je hebt echt wiskunde nodig!!!!

Nou, dan gaan we eerst maar eens op zoek naar alle knooppunten en alle lussen

In de figuur hiernaast zie je dat er drie lussen zijn (de groene pijlen hiernaast) en vier knooppunten (de gele stippen), en daarin heb ik alle stromen en spanningen een naam gegeven (de richting van de stromen is voorlopig willekeurig, als ze straks negatief blijken te zijn dan gingen ze kennelijk de andere kant op).

Laten we voor elke lus en elk knooppunt een vergelijking van Kirchhoff opstellen. Dat geeft (elke keer V = I • R gebruiken):

lus 1:	2 • I₂ + 2 • I₅ - I₃ = 0	...(1)
lus 2:	I₄ - 3 • I₆ - 2 • I₅ = 0	...(2)
lus 3:	I₃ + 3 • I₆ + 20 = 0	...(3)
knooppunt:	I₁ - I₃ - I₂ = 0	...(4)
knooppunt:	I₂ - I₄ - I₅ = 0	...(5)
knooppunt:	I₅ + I₃ - I₆ = 0	...(6)
knooppunt:	I₄ + I₆ - I₇ = 0	...(7)

En daar is een stelsel van 7 vergelijkingen met 7 onbekenden!!!

Dat gaan we doen met substitutie.
Eén voor één werken we alle variabelen weg.
Kijk maar hoe het werkt:

Uit (4) volgt I₁ = I₂ + I₃, maar die I₁ komt verder nergens in voor.
Uit (5) volgt I₂ = I₄ + I₅, dus in (1) kun je I₂ daardoor vervangen.
Dat geeft de tussenstand:

I₁ = I₂ + I₃	...(4)
I₂ = I₄ + I₅	...(5)
2 • (I₄+ I₅) + 2 • I₅ - I₃ = 0	...(1b)
I₄ - 3 • I₆ - 2 • I₅ = 0	...(2)
I₃ + 3 • I₆ + 20 = 0	...(3)
I₅ + I₃ - I₆ = 0	...(6)
I₄ + I₆ - I₇ = 0	...(7)

(Die grijzen hebben we gebruikt, en zijn voorlopig niet meer nodig)

Uit (7) volgt I₇ = I₄ + I₆, maar die I₇ komt verder nergens in voor.
Uit (6) volgt I₆ = I₃ + I₅, dus in (2) en (3) kun je I₆ daardoor vervangen.
Dat geeft de tussenstand:

I₁ = I₂ + I₃	...(4)
I₂ = I₄ + I₅	...(5)
I₇ = I₄ + I₆	...(7)
I₆ = I₃ + I₅	...(6)
2 • (I₄+ I₅) + 2 • I₅ - I₃ = 0	...(1b)
I₄ - 3 • ( I₃ + I₅) - 2 • I₅ = 0	...(2b)
I₃ + 3 • ( I₃ + I₅) + 20 = 0	...(3b)

Laten we die laatste drie eerst maar even fatsoeneren:

2I₄+ 4I₅ - I₃ = 0	...(1b)
I₄ - 3I₃ - 5I₅ = 0	...(2b)
4I₃ + 3I₅ + 20 = 0	...(3b)

Uit (1b) volgt nu I₃ = 2I₄ + 4I₅, dus in (2b) en (3b) kun je I₃ daardoor vervangen:

I₃ = 2I₄+ 4I₅	...(1b)
I₄ - 3(2I₄+ 4I₅) - 5I₅ = 0	...(2c)
4(2I₄+ 4I₅) + 3I₅ + 20 = 0	...(3c)

De laatste twee weer herschrijven:

-5I₄ - 17I₅ = 0	...(2c)
8I₄+ 19I₅ + 20 = 0	...(3c)

Uit (2c) volgt nu I₄ = -3,4I₅, dus in (3c) kun je I₄ daardoor vervangen.

I₄ = -3,4I₅	...(2c)
8· -3,4I₅+ 19I₅ + 20 = 0	...(3d)

Uit deze laatste vergelijking volgt nu eenvoudig dat I₅ = ¹⁰⁰/₄₁≈ 2,44 A
Door al die grijze vergelijkingen "terug" te gebruiken kun je achtereenvolgens alle andere stromen berekenen.
Dat geeft achtereenvolgens:

I₅ ≈ 2,44 A
I₄ ≈ -8,29 A
I₃ ≈ -7,22 A
I₆ ≈ -4,78 A
I₇ ≈ -12,86 A
I₂ ≈ -5,85 A
I₁ ≈ -12,86 A

Daarmee zijn alle stromen bekend. Gelukkig zijn I₁ en I₇ gelijk....PHEW!!

vervangingsweerstand.
Omdat de stroom in de hoofddraad gelijk is aan I₁ = I₇ ≈ -12,86 A en V = 20 V zou je dit hele netwerk van weerstanden dus kunnen vervangen door één weerstand van R ≈ ²⁰/_12,86 = 1,55Ω.

Je ziet; het is wel vrij veel werk, maar gelukkig allemaal niet zo moeilijk. Op deze manier kun je elk netwerk van weerstanden en spanningsbronnen doorrekenen. Met alleen maar lineaire vergelijkingen.

OPGAVEN

1.	Bereken alle stromen in het volgende netwerk (alle weerstanden zijn 2Ω):



2.	In de natuurkunde boekjes staat dat als twee parallelle weerstanden R₁ en R₂ vervangen moeten worden door een vervangingsweerstand R, dat dan moet gelden:


	Het is niet supermoeilijk die vergelijking met wat natuurkundekennis af te leiden, maar het kan ook direct door de wetten van Kirchhoff te gebruiken. Geef die afleiding.