© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Kwadraat afsplitsen.
   
De vergelijking hierboven is een makkelijke. Zo zie je bijvoorbeeld aan de vergelijking  (x - 2)2 + (y + 3)2 = 16  dat het een cirkel betreft met middelpunt  (2, -3) en straal 4. Maar het wordt lastiger als je een vergelijking krijgt waarin de haakjes zijn weggewerkt. Dan zou dat in dit geval worden:  x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0.  De vraag is: "Hoe vind je dat middelpunt (2, -3) en die straal 4 uit deze vergelijking?"

Dat kan met een methode die "Kwadraat Afsplitsen"  (in het Engels  "completing the square")

De manier om haakjes weg te werken in bijvoorbeeld (x - 3)2  ken je natuurlijk intussen wel, daar zal ik je niet mee vermoeien.
Interessanter is de vraag:  "Kan het ook andersom?";  "Kan ik er weer haakjes inzetten?"; "Kan ik er weer een kwadraat van maken?

Eerst maar eens een lijstje met een aantal zulke kwadraten bekijken:
   
 
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
(x + 2)2 = x2 + 4x + 4
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
(x + 4)2 = x2 + 8x + 16
....
   
In dit lijstje zie je meteen dat dat blauwe getal het dubbele is van het rode.
Dat komt natuurlijk door de regel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Dus andersom:  als ik zie staan  x2 + 36x + 324   dan kan ik snel verzinnen dat dat wel gelijk zal zijn aan (x + 18)2
En dat klopt, want 182 is precies gelijk aan 324!

En als dat niet zo mooi uitkomt?

Neem bijvoorbeeld  x2 + 36x + 10
Dan komt het niet uit, want als je probeert  (x + 18)2  dan krijg je x2 + 36x + 324  zoals we eerder al zagen.

De oplossing is erg simpel:   Als het niet klopt dan máák je het gewoon kloppend!!!
Dat gaat zó:
 
x2 + 36x + 10 
= x2 + 36x + 324 - 324 + 10
= (x2 + 36x + 324) + (-324 + 10)
= (x + 18)2 - 314
   
In die tweede regel heb ik er gewoon +324 en -324 bijgezet.  Omdat ik al wist dat er (x + 18)2 moest komen natuurlijk!!

N.B.
Als er vóór het kwadraat ook nog een getal staat, dan moet je dat natuurlijk eerst buiten haakjes zetten.
Bijvoorbeeld:   2x2 + 12x + 10 = 2(x2 + 6x + 5) = 2(x2 + 6x + 9 - 9 + 5) = 2((x + 3)2 - 4) = 2(x + 3)2 - 8

OK we zijn nu klaar om het middelpunt en de straal van een cirkel te vinden:
   
Voorbeeld:   Geef het middelpunt en de straal van de cirkel  x2 + y2 + 4x - 8y - 20 = 0

Oplossing:
x2 + y2 + 4x - 8y - 20 = 0
⇒ x2 + 4x + 4 - 4 + y2 - 8y + 16 - 16 - 20 = 0
⇒ (x + 2)2 - 4 + (y - 4)2 - 16 - 20 = 0
⇒ (x + 2)2 + (y - 4)2 = 40  dus het middelpunt is  (-2, 4) en de straal is √40
 

Zo vind je altijd het middelpunt en de straal van de cirkel.
Kan er nog iets misgaan?
Jazeker:  het zou kunnen dat de r2 die je vindt negatief is!
In dat geval bestaat de cirkel dus niet.  Wiskundigen spreken in zo'n geval van een imaginaire cirkel.
       
 
 
  OPGAVEN
       
1. Geef de straal en de coördinaten van het middelpunt van de volgende cirkels:
       
  a. x2 + y2 - 6x - 10y + 12 = 0
       
  b. x2 + y2 + 2x - 4y = 20
       
  c. 3x2 + 3y2 - 9x + 12y = 0
       
  d. x2 + y2 - 23  = 4x + 6y
       
2. Voor welke waarden van p stellen de volgende vergelijkingen cirkels voor?
       
  a. x2 + y2 - 4x + 5y = p  
       
  b. x2 + px + y2 - 6y + 30 = 0  
       
  c. 3x2 + 6x + py2 - 3y = 0  
       
3. Gegeven zijn de twee cirkels  x2 + y2 + 10x - 10y = 50  en  x2 + y2 - 8x + 14y = p
  Bereken algebraďsch voor welke p deze cirkels elkaar raken.
       
4. De cirkel c met middelpunt M is gegeven door x2 + y2 - 28x - 38y  = -388
In de figuur zijn punt P en cirkel c met middelpunt M weergegeven.
       
 

       
  De afstand tussen c en P is  7.
De afstand tussen M en P is groter dan de afstand tussen M en de x-as.

Bereken exact het verschil tussen deze twee afstanden.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)