Inverse Laplace-transformaties.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
Als je een differentiaalvergelijking met functie f en variabele x hebt omgevormd naar een vergelijking voor de Laplace-transformaties  L(f) en variabele s,  dan wil je uiteindelijk natuurlijk een oplossing voor je oorspronkelijke functie f hebben

Kortom je moet "terug naar de gewone wereld".

De vraag is dus:
     

Hoe maak je van L(f) weer een f ?
       
Je moet daarvoor een soort omgekeerde Laplace-transformatie uitvoeren.
Hou daarbij steeds die tabel met Laplace-transformaties goed in het oog. Meestal kun je daarin al wel zien met welke functie f  je te maken hebt. Houd bij twijfel het volgende in het oog:
       

kijk eerst naar de noemers, maak dan de tellers kloppend
       
Voorbeelden maar?
De Laplace-transformatie van een functie f(x) geven we vanaf nu aan  met F(s).
     

 
Voorbeeld  1.  Geef de inverse Laplace-transformatie van  F(s) = 2/s + 5/(s - 3)  
F(s) bestaat uit twee delen, en die gaan we apart terugtransformeren.
Het eerste stuk heeft noemer s,  en dat lijkt in de tabel op de Laplace-transformatie van het constante getal 1.
Omdat er staat 2 • 1/s  zal dat dus geven  f(x) = 2
Het tweede stuk heeft noemer  s - 3 en dat lijkt in de tabel op de Laplace-transformatie van  e3x

De terugtransformatie levert daarom op:  f(x) = 2 + 5e3x

Voorbeeld  2.  Geef de inverse Laplace-transformatie van  F(s) = 5/(2s + 3)  + 7/s4  
De noemer van het eerste stuk heeft wel weer wat van een e-macht uit de tabel. Dat zie je het duidelijkst als je de 2 buiten haakjes haalt: 
Let vooral ook op dat minteken!
Het tweede stuk lijkt te horen bij f(x) = x3 , alleen zou dat opleveren  6/s4  dus zetten we 6 er gewoon bij:
Samen geeft dat de functie  f(x) = 5/2e-1,5x + 7/6x3
       
Voorbeeld 3. Geef de inverse Laplace-transformatie van  F(s) = (2s - 5)/(16 + s2) 
Tja, aan de tabel en aan de noemer te zien hebben we hier te maken met een sin(ax) of een cos(ax).
Je krijgt deze F(s) als volgt in de juiste vorm:
     

 
Voorbeeld 4.  Geef de inverse Laplace-transformatie van  F(s) = (3 - 2s)/(s2 + 4s + 10)
Dit is een lastige. Eerst gaan we in de noemer kwadraat afsplitsen
Omdat daar in  de noemer (s + 2)2 komt te staan, hebben we dat er in de teller ook maar neergezet.
Deze twee staan in de tabel.  Bij de eerste hoort eaxsinbx  met  a = -2 en b = √6.
Bij de tweede hoort  eaxcosbx met a = -2 en b = √6.
Samen geeft dat de functie  f(x) = 8/√6 • e-2x • sin(x√6)  - 2 • e-2x • cos(x√6).
       
         
1. Geef de inverse Laplace-transformatie van de volgende functies:
         
  a. F(s) = 2/(s2 + 6s + 9)
         
  b. F(s) = (2 + 2s)/(s2 + 8s + 20)    
         
  c. F(s) = 6/(2s - 1)3
         
  d. F(s) = 8/s√s + 1/s6    
         
Breuksplitsen.
       
De inverse Laplace-transformatie van   F(s) = (s + 2)/(s2 - 3s - 4)  zou je kunnen gaan maken door in de noemer kwadraat af te splitsen. Dat gaat zó:
en dat geeft uit de tabel:   f(x) = e1,5x • cosh(2,5x) + 7/5 • e1,5x • sinh(2,5x)

Dat is een redelijk antwoord, maar het kan mooier.....

Die noemer  s2 - 3s - 4 kun je namelijk ook schrijven als  (s + 1)(s - 4), en als je je de les over breuksplitsen nog kunt herinneren, dan kun je dat schrijven als  A/(s + 1) + B/(s - 4)
Dat gaat dan zó:
Als dit gelijk moet zijn aan de oorspronkelijke breuk, dan moet dus gelden  A + B = 1 en  -4A + B = 2
Dat geeft A = -0,2  en  B = 1,2 dus de opgave is hetzelfde als  F(s) = -0,2/(s + 1) + 1,2/(s - 4)
Dat geeft makkelijk via de inverse transformatie dat f(x) = -0,2e-x + 1,2e4x  en die ziet er veel mooier uit dan die f(x) die we met kwadraat afsplitsen eerder vonden.

Niet alleen geeft deze methode een mooier antwoord, er zijn ook breuken waarvan niet eens op een andere manier de inverse transformatie gevonden kan worden!

Hier is nog een kleine samenvatting van het breuksplitsen:
       
factor in de noemer: geeft de volgende term bij breuksplitsen:
ax + b
(ax + b)n
(ax2 + bx + c)
(ax2 + bx + c)n
       
Voorbeeld 5:
Neem deze breuken samen, dan vind je de volgende noemer:
A(s - 2)(s - 2)2 + B(2s + 1)(s - 2)2 + C(2s + 1)(s - 2)
= A(s3 - 4s2 + 4s - 2s2 + 8s - 8) + B(2s3 - 8s2 + 8s + s2 - 4s + 4) + C(2s2 - 4s + s - 2)
= s3 • (A + 2B) + s2 • (-4A - 2A - 8B + B + 2C) + s • (4A + 8A + 8B - 4B - 4C + C)  + (-8A + 4B - 2C)
= s3 • (A + 2B) + s2 • (-6A - 7B + 2C) + s • (12A  + 4B  - 3C) + (-8A + 4B - 2C)

Dat moet gelijk zijn aan  5s3 - 13s2 + 34s - 24
Dus geldt:  A + 2B = 5,  -6A - 7B + 2C = -13,  12A + 4B - 3C = 34  en  -8A + 4B - 2C = -24
Dat geeft  A = 3 en B = 1 en C = -2  (reken het zelf maar na).
De inverse Laplace-transformatie geeft dan:     f(x) = 3/2e -0,5x + e2x - 2/6x3e2x
     

 
         
2. Geef de inverse Laplace-transformatie van de volgende functies:
         
  a.
     
  b.
         
  c.
         
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)