breuken in breuken


Breuken in breuken.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. Delen door een breuk.

Laten we een getal x gaan delen door ²/₅. Gewoon voor de gein....
Nou is een leuke eigenschap van ²/₅ dat, als je het met ⁵/₂ vermenigvuldigt, er precies 1 uitkomt: ⁵/₂ • ²/₅ = 1
Dat kunnen we handig gebruiken: vermenigvuldig beide kanten van deze laatste vergelijking met x.
Dat geeft x • ⁵/₂ • ²/₅ = x

Maar kijk hiernaast wat er gebeurt als je beide kanten door ²/₅ deelt, zoals volgens onze balansmethode mag.
Dan blijkt te gelden dat x gedeeld door ²/₅ hetzelfde is als x maal ⁵/₂.
En wat voor ²/₅ geldt, geldt natuurlijk precies zo voor ³/₇ en ⁴/₁₁ en .....

Conclusie in woorden:

delen door een breuk = vermenigvuldigen met het omgekeerde

Conclusie in letters:

Je kunt het natuurlijk ook in één keer zien door teller en noemer van de linkerkant beiden met c te vermenigvuldigen. Dan valt de c weg uit de noemer en komt er in de teller ac te staan.

Het kan natuurlijk ook in deze variant:

Haal deze en de vorige niet door elkaar!!!!

voorbeeld 1.

voorbeeld 2.

2. Overal breuken!

Gebruik het eenvoudige principe dat je de teller en de noemer van een breuk mag vermenigvuldigen met hetzelfde getal. Dan blijft de breuk gelijk. Deze eigenschap kun je gebruiken om de noemers van ongewenste breuken weg te werken.
Hier is een voorbeeld van hoe dat in z'n werk gaat:

Bij de eerste stap is het doel om de ^x/₃ in de noemer weg te halen. Daarom zijn de teller en de noemer beiden met 3 vermenigvuldigd. Zoals je ziet verdwijnt de breuk ^x/₃ daardoor.
Bij de derde stap willen we ook de breuk ¹⁵/_x weghalen. Dat doen we door teller en noemer beiden met x te vermenigvuldigen. Het resultaat is een breuk zonder daar nog weer breuken in. Deze laatste ziet er vrij "normaal" uit.


breukvergelijkingen			staartdelingen

OPGAVEN

1.	Schrijf de breuken zó, dat er in teller en noemer geen breuken meer staan.

	a.	e.
	b.	f.
	c.	g.
	d.	h.

2.	Twee leuken voor de echte liefhebbers: schrijf de volgenden als gewone breuk.

	a.	b.

	Als je die inderdaad leuk vond, moet je de verdieping kettingbreuken zeker bekijken.

Een jogger loopt langs een rechte weg van 10 km. Eerst rent hij met de wind in de rug van A naar B. Dan keert hij om en rent met tegenwind weer van B naar A. Beide stukken zijn dus 10 km.
Op de heenweg rent hij een gemiddelde snelheid van 15 km/uur.
Hij wil de totale afstand graag afleggen met gemiddeld 14 km/uur.
Maar daarvoor is het niet voldoende om de terugweg met 13 km/uur af te leggen. De volgende formule blijkt te gelden:

v_G is de totale gemiddelde snelheid, v_T is de gemiddelde snelheid op de terugweg, beiden in km per uur.

Bereken de benodigde v_T om een gemiddelde van 14 km/uur te halen.

13,125

Herleid de formule voor v_G tot een zo eenvoudig mogelijke breuk.

Druk v_T uit in v_G.

Welke breuk is de grootste?