Staartdelingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Ik hoop dat je vroeger op de basisschool staartdelingen hebt gehad. Hieronder staat er eentje. Daar wordt uitgerekend hoeveel 854 : 6 is.  Er komt  natuurlijk 1422/6 uit, kijk maar:

   
Deze les gaan we bekijken hoe je staartdelingen met letters kunt maken in plaats van met getallen.
Dat kan namelijk ook vrij makkelijk. Het lijkt nogal op de staartdeling met getallen.
   
Hoe werkt het?  
   
Bij een gewone staartdeling keek je achtereenvolgens hoe vaak het getal waar je door wilt delen "past" in de duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden van het andere getal.

Bij en staartdeling met machten van x gaat het in wezen precies zo. De rode draad daarbij is:
   
Kijk alleen naar de hoogste machten van x
   
Neem bijvoorbeeld  (2x3 + 4x2 - 5x - 1) : (x - 1).
Dat staat hiernaast op de "staartdelingmanier" genoteerd. 

x - 1 / 2x3  + 4x2 - 5x  - 1 \  .......
De staartdeling verloopt nu volgens de volgende stappen (let op de kleuren):
   
•  Hoe vaak past x (hoogste macht van x - 1) in 2x3 ? 
    Dat past 2x2 keer erin.
•  Trek 2x2(x - 1) af van  2x3 + 4x2 - 5x - 1
•  Dan hou je over (2x3 + 4x2 - 5x - 1) - (2x3  - 2x2)
     en dat is   6x2 - 5x - 1
•  Hoe vaak past x in 6x2?  Dat past 6x keer erin.
•  Trek  6x(x - 1) af van  6x2 - 5x - 1
•  Dan hou je over  (6x2 - 5x - 1) - (6x2 - 6x) = x - 1
•  Hoe vaak past x in x?  Dat past er 1 keer in.
•  Trek 1(x - 1)  af van  x - 1
•  Dan hou je over 0		 +
   
Conclusie:   (2x3 + 4x2 - 5x - 1) : (x - 1) = 2x2 + 6x + 1
   
Hieronder zie je nog een voorbeeld.
   

   
En als er een macht niet is?  
   
Als een macht ontbreekt, dan doe je gewoon alsof die er NUL keer staat. Hiernaast is x3 - x  gedeeld door x + 1.
Er is gedaan alsof er staat  x3 + 0x2 - x

Als je er eenmaal een beetje handig in bent geworden, dan doe je zo'n  0x2  natuurlijk in gedachten!

   
   
1. Bereken:
       
  a.

x2 - x + 4
       
  b.

4x + 9
       
  c.

x3 + x2 + x + 3
       
  d.

2x4 + 8x3+ 4x2
       
Waarom werkt het?
   
Als je dat graag wilt weten moet je de verdieping hiernaast maar lezen.
 
 
En als er geen nul uitkomt?
   
Als je een rest overhoudt, dan doe je precies zo als bij een staartdeling  met getallen.
In het linkervoorbeeld hieronder zie je, dat 128 : 5 gelijk is aan 253/5
Nou, op precies dezelfde manier zie je in het middelste voorbeeld dat  (x2 + 4x - 7) : (x - 2) =  x + 6 + 5/(x - 2)
En aan de rechterkant staat dat (x3 + 2x2) : (x2 - 1) =  x + 2 + (x + 2)/(x2 - 1)
   

   
   

   

 

breuken in breuken

      
   
OPGAVEN
   
2. Maak de volgende staartdelingen:
       
  a.

x2 - 4x + 16 - 66/(x + 4)

       
  b.

4x2 - 1 + 1/(2x2 + 1)
       
  c.

6x - 14 + 37/(x + 3)
       
3. Voor welke p komen de volgende staartdelingen precies uit?
       
  a.

p = 17
       
  b.

p = -7
       
4. a. Laat zien dat de functie  f(x) = (2x² + x - 8)/(x - 1)  ook geschreven kan worden als  f(x) = 2x + 3 - 5/(x - 1)
       
  b. Hiernaast zie je de grafiek van deze functie.
Verklaar  het gedrag van de grafiek voor grote x.
Maak daarbij gebruik van het tweede functievoorschrift.

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)