Asymptotische groei.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Jodium-124 is een radioactieve stof die onder het uitzenden van straling langzaam vervalt naar Tellurium-124. Het wordt bijvoorbeeld gebruikt om schildklierkanker op te sporen. Een patiënt krijgt een hoeveelheid Jodium-124 toegediend en die verzamelt zich na een poosje vooral in de schildklier.
Met een zgn. PET-CT scan kan dan de straling van dat Jodium gemeten worden en daarmee kunnen tumoren worden opgespoord.
De halfwaardetijd van Jodium-124 is 4,18 dagen. Dat betekent dat elke dag ongeveer 15,3% van de hoeveelheid Jodium verandert in Tellurium (reken dat zelf maar na).
Stel dat een patiënt op t = 0 een hoeveelheid van  12 milligram I-124 krijgt toegediend, en dat we daarna elke dag meten hoeveel gram Tellurium in zijn lichaam aanwezig is. Dat begint op 0, en al uiteindelijk naar de 12 toelopen, als langzamerhand alle Jodium vervalt. De grafiek zal er daarom uitzien als hieronder.
   

   
De recursievergelijking is  Tn = Tn - 1 + 0,153 • (12 - Tn - 1)
Die laatste term geeft aan dat  15,3% van de Jodium (12 - T) wordt omgezet in Tellurium, dus er bijkomt als Tellurium.

Deze soort groei, waarbij de waarde naar een grenswaarde toeloopt heet asymptotische groei  (of ook wel begrensde groei). Een recursievergelijking daarvan ziet er altijd zó uit:
   

un = u n - 1 + c • (G - un - 1)
   
G is de grenswaarde waar de hoeveelheid uiteindelijk zal eindigen.  c is één of andere constante, die per geval verschillend is en heet ook wel de groeivoet. Er geldt wel altijd  0 < c < 1.

In plaats van toename kan er natuurlijk ook afname naar een bepaalde grenswaarde G zijn. Al we bijvoorbeeld in bovenstaand voorbeeld de hoeveelheid Jodium-124 hadden bekeken, dan was die begonnen bij 12 mg en afgenomen naar de grenswaarde G = 0.
   
Een directe formule.  
   
Nou, die is makkelijk te vinden, als je je maar realiseert dat dit soort groei  een speciaal geval is van de al eerder besproken lineaire lineaire differentievergelijkingen. Kijk maar:

un = un - 1 + c • (G - un - 1) 
⇒  un = un - 1 + cG - c • un - 1 
⇒  un = (1 - c)• un - 1 + cG
Daar staat gewoon  un = a • un - 1 + b  met  a = 1 - c  en   b = cG.
Daarbij moet wel gelden dat  0 < a < 1.
De directe formule hebben we bij lineaire differentievergelijkingen in opgave1 al afgeleid.
In dit geval wordt dat:
   

un = an · u0 + G(1 - an)  met  a = 1 - c
   
Voor bovenstaand voorbeeld geeft dat: 
T(n) =  12(1 - 0,847n)  en hiernaast zie je hoe mooi die grafiek inderdaad past bij de berekende punten.
   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Gegeven is de recursievergelijking  un = 0,76 • un - 1 + 30
Leg uit waarom hier sprake is van asymptotische groei, en geef de groeivoet en de grenswaarde.  
   
   
2. Keesje heeft griep en heeft maar liefst 40°C  koorts.
Hij krijgt op tijdstip t = 0 ibubrofen van zijn moeder want dat is een koortsremmend middel.
Inderdaad loopt vanaf dat tijdstip zijn temperatuur langzaam omlaag. Zijn moeder meet om de 10 minuten zijn koorts en vindt de volgende tabel:
       
 
t  0 10 20 30 40 50 60
n 0 1 2 3 4 5 6
T 40,0 39,4 38,9 38,5 38,2 38,0 37,8
       
  a. Laat zie dat hier bij benadering sprake is van asymptotische groei.
       
  b. Geef een recursievergelijking voor T(n), en bepaal met je GR wanneer de temperatuur voor het eerst minder dan 37,2ºC zal zijn
       
  c. Geef een directe vergelijking voor T(t), en bereken daarmee algebraïsch opnieuw het antwoord op vraag b).
       
3. Een enorm internetdocument zit vol taal- en rekenfouten. Het zijn er maar liefst  2500
Een corrector gaat het nakijken en gaat proberen zoveel mogelijk fouten te herstellen.
Hij kan dat echter ook niet helemaal vlekkeloos:
Daarom gaat hij het vaker na achter4 elkaar nakijken, om zo steeds weer eerder onontdekte fouten op te sporen.
 het blijkt dat hij elke keer als hij het document bekijkt 12% van de fouten weet te vinden.

Noem F(n) het aantal gevonden fouten na n keer corrigeren.
(Je mag als benadering aannemen dat dat aantal niet geheel hoeft te zijn)
       
  a. Stel een recursievergelijking op die Fn zal benaderen, en leg uit waarom dit asymptotische groei is.
       
  b. Stel een directe vergelijking op die Fn zal benaderen.
       
4. Een gezellige wijndrinker windt eigenlijk dat ghij teveel wijn drinkt. Al die alcohol, dat is alleen maar ongezond. Daarom besluit hij tot de volgende tactiek om zijn drankgebruik te verminderen.

Hij koopt een nieuw vat met  400 liter wijn.

Daarvan gaat hij elke week  2% opdrinken.
De eerste week is dat dus 8 liter, maar doordat de hoeveelheid in het vat minder wordt gaat hij ook steeds minder drinken. Slim hé?

Noem de totale hoeveelheid die de wijndrinker na n weken heeft gedronken  W(n),  dus  W(1) = 8
       
  a. Stel een recursievergelijking op voor W(n).
       
  b. Stel een directe vergelijking op voor W(n).  
       
  c. Bepaal met je GR na hoeveel weken de wijndrinker precies gemiddeld 1 liter per week heeft gedronken.
       
  d. Bepaal in de hoeveelste week de wijndrinker voor het eerst minder dan  125 milliliter zal drinken  (dat is de inhoud van één glas wijn).
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)