bewegingen in het complexe vlak


Bewegingen in een plat vlak.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een complex getal kun je zien als een punt P in het complexe vlak met een r en een φ , maar óók als een vector OP met een lengte en een richting.
We zijn over de bewerkingen met complexe getallen intussen twee dingen te weten gekomen:

Met optellen kunnen we die vectoren kop-aan-staart leggen
Met vermenigvuldigen kunnen we die vectoren draaien en korter/langer maken.

Hoogste tijd deze kennis toe te gaan passen.

Voorbeeld 1.

Een gelijkzijdige driehoek ABC heeft A = (1,6) en B = (4,2)
Geef de coördinaten van punt C.

De oplossing is eenvoudig:

"Als je zo graag wilt weten waar C ligt,
dan loop je er toch gewoon vanaf O naar toe?"

Natuurlijk: met vectoren geldt er dat OC = OB + BC. Die OB is een makkie, maar hoe groot is vector BC?
Laten we de figuur verplaatsen naar het complexe vlak.
Daar zie je dat je vector BC kunt krijgen door vector BA over een hoek van -60º te draaien (met de klok mee is negatief).
Maar draaien over -60º is hetzelfde als vermenigvuldigen met het getal cos(-60º) + isin(-60º) en dat is ¹/₂ - ¹/₂i√3.
Vector BA hoort bij het complexe getal -3 + 4i (loop maar van B naar A)
Dus hoort BC bij het getal:
(-3 + 4i) • (¹/₂ - ¹/₂i√3) = (-1¹/₂ + 2√3) + i(1¹/₂√3 + 2)
Dan is OC = OB + BC = (4 + 2i) + (-1¹/₂ + 2√3) + i(1¹/₂√3 + 4)

Dat is 2¹/₂ + 2√3 + i(1¹/₂√3 + 4) dus is C in het "normale vlak" het punt C = (2¹/₂ + 2√3 , 1¹/₂√3 + 4)

Oké, hoor ik je al denken; wat een gedoe om eigenlijk niets. Dat had ik ook wel in twee minuten met een paar handige driehoekjes en sos-cas-toa en Pythagoras kunnen uitrekenen.
En dat is waarschijnlijk ook zo..... Maar dat is nog geen reden om zo verwaand te doen!
Het was ook nog maar een beginvoorbeeldje om het idee te pakken te krijgen. Laten we een stapje verder gaan:

Voorbeeld 2.

Hier staat een regelmatige 17-hoek met zijden 2.
Bereken afstand OF in drie decimalen nauwkeurig.

Leg de hele figuur in het complexe vlak met O in de oorsprong en A = 2
Bij elke zijde van de 17 hoek wordt de vorige zijde gedraaid over een hoek ³⁶⁰/₁₇. Dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met het complexe getal
z = cos(³⁶⁰/₁₇) + isin(³⁶⁰/₁₇)
OF = OA + AB + BC + CD + DE + EF
OF = 2 + 2z + 2z² + 2z³ + 2z⁴ + 2z⁵

Voer in de GR in cos(³⁶⁰/₁₇) + isin(³⁶⁰/₁₇) en druk op ENTER
Sla dit getal op in X: STO X
Bereken 2 + 2X + 2X² + 2X³ + 2X⁴ + 2X⁵ en je vindt 5,87165 + i • 7,77532. Dat geeft dus punt F.
De afstand OF kun je met Pythagoras vinden (√(5,87...² + 7,77...²) ) maar het kan ook in één keer als je bedenkt dat het de modulus van het getal F is: MATH - CPX - abs(ANS)
In beide gevallen vind je OF ≈ 9,743

Robots

som van een meetkundige rij

Een robot staat in de oorsprong van een plat vlak en begint met een stap van 8 naar rechts te nemen. De volgende stappen die hij gaat nemen neemt hij volgens zijn programma:

Draai over 60º.
Maak de stapgrootte 80% van de vorige stap.

Vermenigvuldigen van de lengte met 0,8 betekent r = 0,8.
Draaien over 60º betekent vermenigvuldigen met cos(60º) + isin(60º)
Beide doen betekent dus vermenigvuldigen met z = 0,8(cos(60º) + isin(60º))
Dat is z = 0,8(0,5 + 0,5i√3) = 0,4 + 0,4i√3

Na 1 stap staat de robot in 8
Na 2 stappen staat de robot in 8 + 8z
Na 3 stappen staat de robot in 8 + 8z + 8z²
en zo gaat dat maar door......

Waar staat hij na 10 stappen?

Nou: in punt 8 + 8z + 8z² + ... + 8z⁹ en daar staat een meetkundige rij.

Berekenen met de GR geeft 5,4075 + i • 7,4839

Waar komt hij uiteindelijk uit?

De som van oneindig veel termen van de meetkundige rij levert

Grappig; zo kun je een punt "wurgen"!!
Laat het robotje een touw meenemen en dat bij elk draaipunt in de grond vastslaan en je krijgt het plaatje hiernaast.

Dat punt daar in het midden krijgt het uiteindelijk aardig benauwd zo!

OPGAVEN

1.	Bereken de hoogte van de regelmatige negenhoek hiernaast, met zijden 5, in twee decimalen nauwkeurig.

2.	Op een voorwerp werken drie krachten. Zie de figuur hiernaast. Bereken door gebruik te maken van complexe getallen de resulterende kracht en de richting daarvan

3.	Hiernaast zie je een driehoek ABC waarvan hoek B gelijk is aan 100°. Verder is AB = 2 • BC Als A = (1.5, 8) en B = (4,2) kun je de coördinaten van C makkelijk met complexe getallen uitrekenen, Geef de coördinaten van punt C in twee decimalen nauwkeurig

4.	Een robot staat in de oorsprong. Zijn eerste stap is 8 naar rechts. Vervolgens draait hij steeds over 40º en reduceert zijn volgende stap tot 75% van de laatste.

	a.	Waar is de robot na 10 stappen? (geef de coördinaten in 3 decimalen)

	b.	Waar zal de robot uiteindelijk eindigen? (geef de coördinaten in 3 decimalen)

5.	Een killer-bot staat in de oorsprong klaar om een punt te gaan wurgen. Zijn eerste stap zal 12 naar links zijn. Tot welk percentage moet hij elke volgende stap steeds reduceren, en over welke hoek moet hij draaien om uiteindelijk het punt (6,8) te gaan wurgen?