overgangsmatrix


Evenwicht.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De conclusie van de vorige les was de volgende:

beginsituatie B₀, overgangsmatrix M ⇒ na n jaar is de situatie B_n = Mⁿ• B₀

Nou is het natuurlijk erg interessant om te onderzoeken of er op den duur een stabiele situatie zal ontstaan die niet meer verandert.
In de opgaven 2b en 5c van die vorige les hebben we dat al onderzocht, gewoon door voor n een heel groot getal te nemen en te kijken of de matrices B_n naar een grenswaarde toegaan.
Deze les willen we dat graag wat wiskundiger gaan berekenen......

Met de vraag "Is er een evenwicht" bedoelen we eigenlijk: ""Is er een situatie B die door de overgangsmatrix gewoon dezelfde B weer oplevert?" Als dat zo zou zijn, dan is volgende B wéér gelijk en die daarna wéér gelijk en zo maar door. Kortom: Het verandert niet meer.

Hoe vind je zo'n evenwichtssituatie?
Nou, dat staat eigenlijk hierboven al: Als je B • M uitrekent, dan moet B er weer uitkomen, ofwel:

B • M = B

Daarmee kun je vrij eenvoudig de evenwichtshoeveelheden uitrekenen, immers als je B • M = B uitschrijft krijg je een stelsel vergelijkingen.
Noem de hoeveelheden in het voorbeeld hierboven in de evenwichtssituatie G, S en B, dan krijg je dit:

Maar met de drie vergelijkingen rechts is iets aan de hand. Iets vervelends....

Kijk maar wat er gebeurt als je ze gaat oplossen;
van de bovenste kun je maken 0,1S = 0,35G dus S = 3,5G. Dat kun je invullen in de tweede en derde:
(2):   0,25G + 0,7 • 3,5G + 0,1B = 3,5G ofwel   0,1B = 0,8G ofwel B = 8G
(3): 0,1G + 0,2 • 3,5G + 0,9B = B   ofwel 0,8G = 0,1B ofwel B = 8G.

Hè Bah!!
Dat geeft twee keer dezelfde vergelijking, dus dat valt niet op te lossen. Dit stelsel vergelijkingen heet afhankelijk en heeft oneindig veel oplossingen!!!

Gelukkig is er redding: we weten namelijk nóg een vergelijking, namelijk dat het totaal aantal constant blijft:
G + S + B = 600
Dat geeft met B = 8G en   S = 3,5G de oplossing G = 48, B = 384 en S = 168 en dat is de gezochte evenwichtstoestand.

Dit laatste gebeurt altijd: omdat het totaal aantal constant is, is het stelsel afhankelijk. Het zit hem erin dat de som van elke kolom van de overgangsmatrix gelijk is aan 1. Dat betekent dat er geen land verdwijnt of bijkomt, het wisselt alleen onderling van plek. Zo'n systeem heet een gesloten systeem, en geeft altijd een afhankelijk stelsel. Maar gelukkig hebben we dan ook altijd als extra vergelijking dat het totaal constant blijft.

totale hoeveelheid constant
⇔
gesloten systeem
⇔
afhankelijk stelsel

Open systemen.

Onder de konijnen van een eiland is een ziekte uitgebroken die zich kenmerkt door de volgende gegevens:

Elke week wordt 15% van de gezonde konijnen ziek, de rest blijft gezond.

Van de zieke konijnen geneest in een week 30% en blijft 65% ziek. 5% overlijdt aan de ziekte

Dat zou de volgende overgangsmatrix opleveren:

Je ziet direct al dat we hier niet met een gesloten systeem te maken hebben, want de som van de kolommen is niet nul. Er verdwijnen konijnen uit het systeem omdat er een aantal doodgaan: die laatste kolom is niet 1.
Dat betekent dat het totale aantal konijnen steeds minder zal worden. Het aantal zal uiteindelijk naar nul toe gaan.

Dat zie je ook aan de vergelijkingen:
G_{n + 1} = 0,85G_n + 0,30Z_n
Z_n_{+ 1} = 0,15G_n + 0,65Z_n
Je ziet direct dat J = G = 0 een oplossing van deze vergelijkingen is.

Je kunt het ook zien door de vergelijkingen bij elkaar op te tellen:
(G_{n + 1} + Z_n_{+ 1}) = 0,85G_n + 0,30Z_n+0,15G_n + 0,65Z_n
= G_n + 0,95Z_n
= (G_n + Z_n) - 0,0,5Z_n

Laten we aannemen dat er ook nieuwe konijnen geboren worden....
Bijvoorbeeld dat elk gezond konijn gemiddeld 0,1 nakomeling krijgt.
Dat verandert die 0,85 en 0,30 uit de overgangsmatrix in 0,95 en 0,40

De vergelijkingen worden dan:
G_{n + 1} = 0,95G_n + 0,40Z_n
Z_n_{+ 1} = 0,15G_n + 0,65Z_n

Het probleem is dat dan G = Z = 0 nog steeds een oplossing is!!!!

Hoe zit dat?

Het is inderdaad zo dat G = Z = 0 een oplossing is, maar deze oplossing wordt nooit bereikt! (nou ja: alleen als met 0 konijnen begint, maar dat is een nogal flauwe oplossing).
Begin bijvoorbeeld met 1000 gezonde konijnen en je krijgt de volgende serie bevolkingsmatrices:

Het totaal aantal konijnen wordt alsmaar groter; de bevolking loopt steeds verder van het evenwicht weg!

Je zou wel een evenwicht dat niet G = Z = 0 heeft kunnen krijgen door elke week een vast aantal gezonde konijnen uit te zetten. Als je bijvoorbeeld elke week 500 nieuwe gezonde konijnen uitzet dan worden de vergelijkingen (vanaf de oorspronkelijke situatie):

G_{n + 1} = 0,85G_n + 0,30Z_n+ 500
Z_n_{+ 1} = 0,15G_n + 0,65Z_n

Dat geeft voor het evenwicht:
0,15G - 0,30Z = 500
0,15G - 0,35Z = 0

optellen geeft 0,05Z = 500 dus Z = 10000 en dan is G = 23333¹/₃

Kunnen we dat ook met matrixvermenigvuldigen berekenen?

Tuurlijk.
Voer gewoon een derde categorie "nieuwe konijnen (N)" in en gebruik deze overgangsmatrix:

Als je nu maar N₀ = 500 neemt dan geven de eerste en tweede rij van de matrix B_n de aantallen gezonde en zieke konijnen na n weken.
(Ga zelf vooral na dat deze matrix M inderdaad de evenwichtsvergelijkingen hierboven oplevert!)

OPGAVEN

Je mag er voor het gemak van uitgaan dat alle aantallen in de volgende vraagstukken geen gehele getallen hoeven te zijn (ook al is dat eigenlijk wel zo).

Een middelbare school introduceert de zogenaamde "Maatwerkmiddag".
Dat is elke week de woensdagmiddag, en daarin zijn er steeds drie studiepleinen binnen de school beschikbaar waar de leerlingen uit kunnen kiezen. Op elk studieplein zijn meerdere leraren beschikbaar om te helpen.
Er is een a-studieplein, een b-studieplein en een g-studieplein. Elke week moeten de leerlingen op maandag al aangeven op welke plein ze die week woensdag aan het werk zullen gaan.

Van de leerlingen die in een week het a-plein kozen kiest de helft de week erna weer het a-plein en 30% gaat naar het b-plein en de rest naar het g-plein.
Van de leerlingen die in een week het b-plein kozen kiest de week erop 60% weer het b-plein. 30% gaat naar het a-plein en de rest naar het g-plein.
Van de leerlingen die in ene week het g-plein bezochten gaat 55% de week erna weer naar het g-plein, 20% switcht naar het a-plein den de rest gaat naar het b-plein.

Stel een overgangsmatrix M op.

In een bepaalde week zijn er 210 leerlingen op het a-plein, 150 leerlingen op het b-plein en 130 leerlingen op het g-plein.

Bereken hoe de situatie over 4 weken zal zijn.

Uiteindelijk ontstaat er een stabiele situatie waarbij de aantallen leerlingen op de drie pleinen niet meer zullen veranderen. Bereken algebraïsch hoe groot die aantallen dan zullen zijn.

De enige supermarkt in een klein dorpje heeft een vast klantenbestand van 880 klanten,

Men verkoopt drie soorten cola: Coca Cola (C) , Pepsi Cola (P) en het Huismerk Cola (H).

De marketingmedewerker van de supermarkt houdt nauwkeurig bij hoeveel klanten welke soort cola kopen.
Het blijkt dat van de Coca-Cola kopers in een maand 80% de volgende maand wéér Coca-Cola koopt, 15% switcht naar het Huismerk en 5% switcht naar Pepsi Cola.
Van de Pepsi-Cola kopers in een maand koopt 75% de volgende maand wéér Pepsi-Cola, 15% switcht naar het Huismerk en 10% switcht naar Coca-Cola
Van de Huismerk-kopers in een maand koopt 85% de volgende maand wéér het huismerk, 10% schakelt over op Coca-Cola en 5% gaat over naar Pepsi-Cola.

Teken een graaf en stel een overgangsmatrix op.

Hoeveel zullen de klanten uiteindelijk over de drie merken Cola verdeeld zijn? Geef een algebraïsche berekening.

Met de cursus "Beleggen voor Beginners" van NHA ontdek je stap voor stap de basisprincipes van beleggen, van aandelen tot risicoanalyse. NHA organiseert ook nog een vervolgcursus "Beleggen voor Gevorderden" die je kunt volgen als je de eerste cursus succesvol hebt afgesloten (met een NHA-getuigschrift)
Beide cursussen duren 6 maanden.
De cursussen zijn erg populair, maar men kan hoogstens 800 mensen toelaten tot de eerste cursus.

Van de cursus "Beleggen voor Beginners" gaat na afloop 70% door naar de cursus voor Gevorderden, 20% stopt ermee en rond de cursus niet af. De andere 10% haalt het getuigschrift niet en gaat de cursus nogmaals doen.
Van de cursus "Beleggen voor Gevorderden" stopt 15% tijdens de cursus ermee, en sluit 60% deze cursus succesvol af. De andere 25% gaat de cursus nogmaals doen.

NHA begint elk halfjaar met van beiden een nieuwe cursus, waarbij men in de cursus "Beleggen voor Beginners" altijd zorgt dat er 800 deelnemers zijn.
Degenen die uiteindelijk de cursus "Beleggen voor Gevorderden" succesvol hebben afgesloten mogen zich "Professioneel Belegger" noemen.

Stel een overgangsmatrix op.

Op dit moment starten er 800 deelnemers aan de beginnerscursus en 650 deelnemers aan de gevorderdencursus.

Bereken hoeveel deelnemers de cursus "Beleggen voor Gevorderden" uiteindelijk zal hebben.

Bereken hoeveel "Professionele Beleggers" de NHA de komende 6 jaar (12 cursussen) zal afleveren.

Een grote golfclub heeft op dit moment 460 leden.
Elk lid heeft een eigen "Handicap". De handicap toont aan hoeveel slagen de speler gemiddeld nodig heeft om 18 holes te spelen boven de par van de baan. De hoogste handicap is 54. Een speler met handicap nul noemt men een scratchspeler.
Op deze golfclub onderscheidt men drie soorten spelers: Recreanten (R) hebben handicap 37-54, Toernooispelers (T) hebben handicap 19-36 en Professionals (P) hebben handicap 0-18.
Elke maand wordt aan het begin van de maand aan de hand van de prestaties van de spelers die maand de nieuwe handicap bepaald.

Van de Recreanten wordt elke maand 10% Toernooispeler en van de Toernooispelers wordt elke maand 25% Professional.

Als je een maand slecht speelt kun je degraderen van Toernooispeler weer naar Recreant, en van Professional weer naar Toernooispeler of zelfs in uitzonderlijke gevallen van Professional direct naar Recreant.
Van de Professionals wordt elke maand 40% weer Toernooispeler en 5% Recreant.
Van de Toernooispelers wordt elke maand 50% weer Recreant.

Van elke categorie verlaat elke maand 10% de club.
Verder komen er elke maand aan het begin 60 nieuwe clubleden bij, en die beginnen allemaal als Recreant.

Stel vergelijkingen op voor de aantallen Recreanten, Toernooispelers en Professionals, en bereken daarmee algebraïsch welke evenwichtssituatie onder deze voorwaarden zal ontstaan.

Als er op een bepaald moment van elke categorie 200 spelers zijn, hoe zal die situatie dan over 12 maanden zijn? Geef een berekening met matrixvermenigvuldiging.