© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Grotere bomen.
Het systeem met die kansbomen lijkt prima te werken natuurlijk, maar het kan gebeuren dat de bomen die je moet tekenen erg groot worden. Dat geeft praktische problemen.
Neem het volgende voorbeeld:
Ik liet laatst per ongeluk een aantal punaises op de grond vallen, en daar viel me meteen wat aan op: ze kunnen namelijk op twee manieren neerkomen:  

Maar die twee mogelijkheden komen niet even vaak voor.  Op de foto zie je bijvoorbeeld dat van de 10 punaises er 2 met de punt omhoog liggen en 8 met de punt omlaag.
Ik ging op onderzoek uit en gooide expres 500 punaises op de grond. Natellen leverde dat er 98 met de punt omhoog lagen en 402 met de punt omlaag. Dat doet mij vermoeden dat de kans om met de punt omhoog te belanden gelijk is 0,2 en met de punt omlaag dus 0,8. Laten we aannemen dat die getallen kloppen.

Hoe groot is nu de kans dat van de 30 punaises die op de grond vallen er precies 10 met de punt omhoog liggen?

De kansboom die daarbij hoort ziet er zσ uit:

Dit is maar een klein stukje van de hele boom. We hebben nog maar 7 van de 30 punaises laten vallen. Het is veel te veel werk die hele boom te gaan tekenen (de laatste rij krijgt al 230 streepjes en dat is ongeveer 1 miljard!  Met ιιn streepje per seconde zouden we daarvoor zo'n 34 jaar non-stop bezig zijn!!!!). Bovendien ook al zou die boom zijn getekend, dan zal het niet te doen zijn om te kijken welke takken nou precies 10 punaises met de punt omhoog en 20 met de punt omlaag zouden hebben.
Dit vraagt om een andere systematischer aanpak.
Die gaat in 5 stappen:
STAP 1.  Begin een stukje van de kansboom te tekenen.
Dat is hierboven al gebeurd. Natuurlijk is een kleiner stukje ook al wel genoeg, 't is meer om een idee te krijgen van wat er aan de hand is.
STAP 2.  Schrijf ιιn gunstige tak op.
Noem H = punt omhoog en L = punt omlaag. Een gunstige tak is er eentje met 10 H's en 20 L's
Bijvoorbeeld  HHHHHHHHHHLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
STAP 3.  Bereken de kans op deze ene tak.
De tak hierboven heeft kans  0,2 • 0,2 • 0,2 • ... • 0,8 • 0,8 • 0,8 • .....  en daar staat 10 keer 0,2 en 20 heer 0,8.
Dat geeft kans  0,210 • 0,820  (ongeveer 0,00000000118).
STAP 4.  Beredeneer hoeveel zulke gunstige takken er zijn.
Bedenk dat elk rijtje letters met 10 H's en 20 L's een gunstige tak is. De vraag is dus  "Hoeveel zulke rijtjes letters zijn er?". Maar die vraag hebben we al eerder beantwoord toen we het hadden over anagrammen, dat waren ook rijtjes letters en het aantal manieren berekenden we met combinaties nCr.
In dit geval zijn er  30 nCr 10 = 30045015 zulke rijtjes dus ook zoveel gunstige takken.
STAP 5.  Vermenigvuldig de kans op ιιn zo'n tak met het aantal takken.
KANS = (30 nCr 10) • 0,210 • 0,820  = 0,0355
Bedenk wel dat deze aanpak alleen werkt als de boom regelmatig is. Die laatste stap mag namelijk alleen als de kans op elke gunstige tak gelijk is, en dat is alleen zo bij regelmatige kansbomen.
Dat dit een voorbeeld was MET terugleggen maakt niet uit; ook zonder terugleggen werkt deze aanpak.
Kijk maar naar het volgende probleem:
In een klas van 28 leerlingen hebben er 8 hun huiswerk niet geleerd en 20 wel.
De leraar gaat 10 verschillende leerlingen overhoren.
Hoe groot is de kans dat van deze 10 er 4 hun huiswerk niet hebben geleerd?
Laten we de 5 stappen volgen:
STAP 1.  Hiernaast. W = wel geleerd, N = niet geleerd. Het valt direct al op dat de boom wel regelmatig is, maar de kansen bij de takken variλren nogal!

STAP 2.  gunstig is bijv.  NNNNWWWWWW
STAP 3.  de kans daarop is 
8/28 • 7/27 • 6/26 • 5/25 • 20/24 • 19/23 • 18/22 • 17/21 • 16/20 • 15/19
Dat is ongeveer 0,0009845
STAP 4.  er zijn  10 nCr 4 = 210 zulke takken.
STAP 5. de kans is dus  210 • 0,0009845 = 0,2067
Maar die laatste stap, dat bij elkaar optellen van al die 210 gunstige takken, dat mag alleen maar als de kans op elke gunstige tak hetzelfde is. En er staan bij deze boom wel allemaal verschillende kansen. Klopt dat wel?
Gelukkig wel, en dat zie je als je een paar zulke gunstige takken opschrijft:
NNNNWWWWWW  heeft kans  8/28 • 7/27 • 6/26 • 5/25 • 20/24 • 19/23 • 18/22 • 17/21 • 16/20 • 15/19  = 0,0009845
NNWNWWWNWW  heeft kans   8/28 • 7/27 • 20/26 • 6/25 • 19/24 • 18/23 • 17/22 • 5/21 • 16/20 • 15/19 = 0,0009845
WNWWWWNNWN   heeft kans  20/28 • 8/27 • 19/26 • 18/25 • 17/24 • 16/23 • 7/22 • 6/21 • 15/20 • 5/19 = 0,0009845
en ga zo maar door.
De kansen blijken inderdaad gelijk, en je zult al wel zien waar dat door komt.
De noemers van deze breuken zijn steeds precies hetzelfde  (28 • 27 • ... • 19)
In de tellers staan steeds de getallen  20, 19, 18, 17, 16, 8, 7, 6, 5  met elkaar vermenigvuldigd. Het enige dat verschilt is de volgorde, maar dat maakt voor de uitkomst natuurlijk niet uit.
   
 
 
  OPGAVEN
1. Een dronken man staat in een lange winkelstraat.
Hij moet eigenlijk naar voren, maar neemt elke keer een stap naar voren of naar achteren.
De kans op een stap naar voren is 70%, de kans op een stap naar achteren is 30%
Neem aan dat alle stappen 1 meter zijn.
       
  a. Hoe groot is de kans dat hij na 10 stappen 2 meter naar voren is gelopen?
       
  b. Hoe groot is de kans dat hij na 12 stappen minder dan 4 meter van zijn beginplaats af is?
2. Bij het Oud-Hollandse spel "ringgooien"  moet je proberen om zo vaak mogelijk een gekleurde ring om een gekleurde stok de gooien.
Elke ring die om de stok wordt gegooid levert een punt op.

Iemand heeft een beetje geoefend en heeft kans 70% bij elke ring die zij gooit dat het een punt oplevert.
Bij 10 keer gooien zal zij dan gemiddeld 7 punten scoren.

Hoe groot is de kans dat zij bij 10 keer gooien precies 7 punten scoort?

     
  3. Bij een loterij op een fietsclub zijn 220 loten verkocht.

Die loten zijn huis-aan-huis verkocht waarbij steeds op de linkerkant de naam en de gegevens van de koper werden genoteerd.
De rechterkant werd afgescheurd en als bewijs aan de koper gegeven.

Na afloop zijn alle linkerkanten waarvan het lot verkocht is in een grote doos gedaan.
Uit die doos worden tijdens de prijsuitreiking tien loten getrokken waarop een prijs valt.

Iemand heeft maar liefst 18 loten gekocht.
Hoe groot is de kans dat hij  3 prijzen krijgt?
 
   
4. Als de schijf hiernaast wordt gedraaid en dan tot stilstand komt is de kans 25% dat de pijl geel aanwijst, 12,5% kans op groen  en 62,5% kans op paars.

Hoe groot is de kans dat er bij 12 keer draaien  4 keer geel, 2 keer groen en 6 keer paars bij de pijl komt?

   
5. Onderweg naar mijn werk moet ik elke keer een brug oversteken.
Er is echter nogal veel waterverkeer op het kanaal waarover de brug ligt, dus regelmatig is de brug omhoog en moet ik wachten. Ik heb het een poosje bijgehouden en ik ben er achter gekomen dat elke keer dat ik bij de brug aankom de kans  8%   is dat ik moet wachten.
   
  a. Bereken de kans dat ik op en dag zowel op de heenweg als op de terugweg voor de brug moet wachten.
         
  In een hele week kom ik dus 10 keer (5 werkdagen heen en terug) langs de brug.
De kans dat ik in een week nooit hoef te wachten is minder dan 50%
         
  b. Bereken deze kans in drie decimalen nauwkeurig.
         
  c. Bereken de kans dat ik in twee weken (10 werkdagen heen en terug) precies 3 keer moet wachten
     
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)