© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Inverse Functie.
   
Een functie moet je eigenlijk zien als een apparaat waar je een getal in kunt gooien, en waar na een tijdje een nieuw getal uit komt rollen. Zoals het  machientje hiernaast. Je gooit bijvoorbeeld x= 4 er in en an een poosje komr er y = 11 weer uit.
Wat we er allemaal in mochten gooien dat heette het DOMEIN, en wat er allemaal uit kon komen rollen dat heette het BEREIK.

Nou kun je zulke functies ook koppelen; dat is wel geinig. Je zet twee zulke machientjes onder elkaar zodat de uitvoer van de eerste weer de invoer van de tweede wordt.
Hieronder is dat voor een paar zulke machientjes gebeurd.

Aan de tweede en de derde zie je dat het wel degelijk verschil maakt in welke volgorde je de functies onder elkaar zet (de ene keer komt er 10 uit, de andere keer 4).
De laatste vier zijn apart:   wat je er ingooit, dat komt er ook weer uit!!!
Probeer er zelf nog maar een paar x-en in te gooien; het is echt altijd zo.

Kennelijk doet het tweede machientje al het werk van het eerste weer teniet! Je zou het de "OPHEFFER" of "OMGEKEERDE" van de eerste kunnen noemen. In de laatste twee figuren zie je dat het andersom óók werkt. Kennelijk zijn die twee machientjes elkáárs opheffer!!!!
Wiskundigen noemen zoiets niet een "opheffer"  maar een INVERSE.

HOE VIND JE ZO'N INVERSE?

Methode A.   Door alles gewoon om te keren.

Kijk bijvoorbeeld hoe een wiskundeles in z'n werk gaat:

Maar aan het eind van de les moet je, als je dit allemaal wilt "opheffen" niet gewoon van alles het omgekeerde doen, dat geeft onzin. Kijk maar, hier staat van alles het omgekeerd, probeer dit maar eens te doen:

Het werkt pas als je van alles het omgekeerde doet, maar OOK IN DE OMGEKEERDE VOLGORDE!!!
Zó gaat het goed:

En dat werkt bij functies ook zo. Neem bijvoorbeeld het machientje  y = 2x + 8.
Wat doet dat met een getal x?  Eerst "KEER TWEE" en daarna "PLUS ACHT"
Omdat op te heffen moet je het omgekeerde doen in de omgekeerde volgorde:  eerst "MIN ACHT" en daarna "GEDEELD DOOR TWEE".  De inverse wordt dus  y = (x - 8)/2
       
Methode B.  Door x en y met elkaar te verwisselen.
 
Als je dat gedoe met die machientjes maar vervelend vindt, dan kun je de inverse ook op een meer algebraďsche manier vinden. Kijk, als een functie bij elke x die je erin stopt een y produceert, dan maakt de inverse functie van die y weer de oorspronkelijke x. De inverse gebruikt die y eigenlijk alsof het een x is.
Daarom kun je een inverse functie makkelijk opsporen door gewoon x en y in de gegeven functie met elkaar te verwisselen, en dan het resultaat weer te gaan schrijven als y = .......
 
inverse opstellen:
•  vervang x door y en vervang  y door x
•  schrijf het resultaat als y = ....
 
       
Merk vooral op dat we dit al eerder hebben gedaan.
Toen noemden we het "x vrijmaken".
Je kunt immers net zo goed eerst van de vergelijking  x = ... gaan maken en daarna x en y omwisselen.
       
Voorbeeld 1.  Geef de inverse functie van  y = 2x + 4

Oplossing 1a.
Wat doe je met een x?  Je vermenigvuldigt met 2 en telt er dan 4 bij op.
Nou voor de inverse dan trekje er weer 4 af, en deelt daarna door 2
Dat geeft dus  y = (x - 4)/2  ofwel  y = 0,5x - 2

Oplossing 1b.
Maak ervan  x = 2y + 4
⇒   2y = x - 4
⇒   y = 0,5x - 2
       
Voorbeeld 2.    Geef de inverse functie van  y = 2/(x - 1) 

Oplossing 2a.
Wat is er met de x gebeurd?
Eerst is er 1 afgetrokken, en daarna is het geheel in de noemer gezet, en toen is het met twee vermenigvuldigd.
Voor de inverse deel je eerst de x door 2 (of vermenigvuldigen met 0,5, dat is het zelfde), zet het geheel dan  in de noemer en telt er dan 1 bij op.
Dat geeft  y = 1/0,5x + 1  ofwel  y = 2/x + 1

Oplossing 2b
x en y verwisselen geeft  x = 2/(y - 1)
Dat geeft:   x = 2/(y - 1) 
⇒  x(y - 1) = 2 
⇒  xy - x = 2 
⇒  xy = 2 + x 
⇒  y = (2 + x)/x   
(of ook wel y = 1 + 2/x)
En dat is de inverse.....
We hebben dit allemaal dus ook al gedaan bij de les over het vrijmaken bij gebroken functies
       
Voorbeeld 3:  Geef de inverse van   y = (2x - 1)/(5 - x)

Oplossing 3b.
x en y verwisselen geeft  x = (2y - 1)/(5 - y)
Dat geeft: 
(5 - y)x = 2y - 1 
⇒  5x - yx = 2y - 1
⇒  -yx - 2y = -1 - 5x 
⇒  y(-x - 2)  = -1 - 5x 
⇒  y = (-1 --5x)/(-x - 2) = (1 + 5x)/(x + 2)

Merk verder op dat dit derde voorbeeld eigenlijk niet te doen is met methode A, door alles om te keren.  Dat is te lastig met twee x-en erin.....
       
Kan dit zomaar altijd?    
       
Gezien deze vraag waarschijnlijk niet, zul je wel denken. En dat klopt!

Dat zit hem in het volgende.......

Stel dat je op zoek bent naar de inverse van y = x2 .
Je hebt dan  natuurlijk zo'n vermoeden dat het y = √x is, immers wortel en kwadraat heffen elkaar op.

Ter controle:   x = 4 geeft  y = x2 = 16  en   x = 16 geeft inderdaad weer y = √16 = 4
Het lijkt te kloppen!!

Toch zijn er getallen waarvoor dat niet klopt! Zie je welke dat zijn?
Precies!

Dat zijn de negatieve getallen!!
x= -4  geeft  y = (-4)2 = 16  maar  x = 16 geeft  y = √16 = 4  en dat is niet gelijk aan -4.

Er zijn twee manieren om dit vervelende verschijnsel op te lossen.

Manier 1:  we zeggen gewoon voortaan  √16 = ±4

Manier 2:  we zeggen dat wortel en kwadraat alleen elkaars inverse zijn voor positieve getallen.

       
Omdat het wiskundig toch wel erg prettig is als er uit een formule (dat heet een functie) maar één getal komt kiezen we voor de tweede manier:
       
wortel en kwadraat zijn elkaars inverse voor positieve getallen.
       
Die keuze heeft wel gevolgen, die we grappig genoeg al hebben gezien.
Zo moest je bij de vergelijking  x2 = 8  als antwoord geven x = √8  ∨  x = -√8
En zo moest je als je vergelijkingen met wortels oploste altijd de antwoorden controleren omdat er valse wortels bij konden zitten.
   
 
 
OPGAVEN
 
1.  Geef de inverse functie van de volgende functies:
         
a.     y =  4x - 5 d.  y = √(x + 2)
         
b.    y =  1 + 2/x e. y = 5 + 2√x
         
c.    y =  3 + 1/(x - 2)  f. y =  2(x + 3) + 4
2. a. Een functie heeft een verticale asymptoot x = 4.  Wat zegt dat over zijn inverse?
       
  b.  Een functie heeft een nulpunt x = -3. wat zegt dat over zijn inverse?
       
  c. Een functie heeft  domein  [2, →〉  en  Bereik  [4, 7]
Wat zegt dat over het domein en het bereik van de inverse functie?
3. De functie y = 2x + b snijdt zijn eigen inverse bij  x = 5.  Bereken b.
   
4. De inverse functie van y = (ax + 2)/(x + 4)    is de functie  y = (2 - bx)/(x - 3)
Bereken a en b.
   
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)