© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Oppervlakte.
   
Hieronder zie je een aantal "basisoppervlakten" die je waarschijnlijk (hopelijk) al wel kent.
   

   
Merk nog even op dat de tweede en derde figuur eigenlijk hetzelfde zijn! Je moet de hoogte van een driehoek loodrecht op de basis kiezen, dus die kan soms buiten de driehoek vallen, zoals in de derde figuur.

Het wordt pas interessanter als we verschillende figuren gaan combineren, of er delen van gaan afsnijden.
Een paar voorbeelden zullen de verschillende tactieken om een oppervlakte uit te rekenen wel duidelijk maken, denk ik.
   
1.  Een regelmatige veelhoek.
   
Als je de oppervlakte van een regelmatige veelhoek moet uitrekenen kun je hem het best in driehoeken verdelen die allemaal met de top in het middelpunt liggen en als basis een zijde hebben. De regelmatige zevenhoek hiernaast wordt zo in 7 driehoeken verdeeld.
De zeven hoeken bij het midden zijn dus elk 360/7 = 51,43º
Als je één zo'n driehoek bekijkt heeft hij dus een tophoek van 51,4º en een basis van 4.
De halve tophoek is dan 25,7º dus voor de hoogte h geldt  tan(25,7º) = 2/h
Daaruit volgt h = 2/tan(25,7º) ≈ 4,15
en de oppervlakte van de driehoek is dan  1/2 • 4,15 • 4 = 8,31
De hele zevenhoek heeft dan oppervlakte  7 • 8,31 ≈ 58,1.

   
2.  Inlijsten.
   
De oppervlakte van de groene vierhoek hiernaast kun je makkelijk berekenen als je er een lijstje van vier driehoeken omheen zet!
De totale oppervlakte van het vierkant  is 7 × 7 = 49 en daar moeten vier driehoeken af.
Die hebben achtereenvolgens oppervlaktes  6, 8, 71/2 en 3
Dus de vierhoek heeft oppervlakte:
49 - 6 - 8 - 71/2 - 3 = 241/2
   
3.  Cirkelsegmenten  
   
Als je een deel van een cirkel in de vorm van zo'n "taartpunt" vanaf het midden moet berekenen, dan heet dat een cirkelsegment. De oplossing in zulke gevallen is eenvoudig:
   
de hoek bij het middelpunt zegt je
hoeveelste deel van de hele cirkel het is.
   
Dat gaat dan natuurlijk zó:
   
oppervlakte cirkelsegment =  hoek/360 · pr2
   
Voorbeeld.

In de figuur hiernaast is een cirkel met straal 8 getekend. Dat rode cirkelsegment heeft bij het middelpunt van de cirkel een hoek van  50º.
Dat betekent dat het rode segment een oppervlakte heeft die 50/360 deel van de hele cirkel is. De oppervlakte ervan is dus  50/360 • π • 82  = 27,93

Het kleine groene oppervlaktedeel is interessanter. Om dat te vinden moet je van die 27,93 nog een driehoek afhalen. Dat is een gelijkbenige driehoek met tophoek 50º en twee benen van 8. 
Hiernaast kun je zien dat  sin25º = x/8   dus x = 8sin25º = 3,38
Verder is cos25 = h/8  dus  h = 8cos25º = 7,25
De oppervlakte is dan  3,38 • 7,25 = 24,51
Het groene deel heeft dan oppervlakte 27,93 - 24,51 = 3,42

   
4.  Doorsnijdende cirkels.
       
Hiernaast staan twee even grote cirkels die elkaar doorsnijden. De straal van beide cirkels is gegeven, en ook de afstand MN tussen de middelpunten. De vraag is: hoe groot is het gebied dat tot beide cirkels behoort?
Dat bereken je zó:

• Bereken de oppervlakte van driehoek MNS hiernaast.
• Bereken de oppervlakte van het blauwe cirkelsegment hiernaast
• Als je twee zulke cirkelsegmenten bij elkaar optelt (vanaf middelpunt N en vanaf middelpunt M) heb je meer dan de oppervlakte van de driehoek, namelijk het overlappende deel extra.
• Het deel dat tot beide cirkels behoort is het dubbele daarvan.
       
Voorbeeld.
Twee cirkels met straal 8 doorsnijden elkaar. De afstand tussen beide middelpunten is 12. Bereken de oppervlakte van vlakdeel dat binnen beide cirkels ligt.
   
Oplossing:
Zie de figuur hiernaast. SP2 = 82 - 62  dus SP = √28
De oppervlakte van driehoek SMN is dan  0,5 • 12 • √28 = 31,75

Voor de hoek bij N van het blauwe cirkelsegment geldt
cosa = 6/8 dus die hoek is ongeveer 41,4º . Dan heeft het blauwe cirkelsegment oppervlakte  41,4/360 • π • 82 = 23,13. Twee zulke segmenten hebben dan oppervlakte 46,25.
Dat is  46,25 - 31,75 = 14,50 meer dan de driehoek. Het overlappende deel binnen de driehoek heeft dus oppervlakte 14,50, dus de oppervlakte van het vlakdeel binnen de cirkels is gelijk aan  2 • 14,50 = 29,00
   
N.B.
Als de cirkels niet even groot zijn, zul je de cosinusregel moeten gebruiken om de zijden en hoeken van driehoek MSN te berekenen. De berekeningen gaan verder ongeveer hetzelfde.
   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Bereken de oppervlakte van het gekleurde deel van de volgende figuur, als de hoekpunten roosterpunten zijn:
       
 

   
2. Een regelmatige twaalfhoek heeft zijden van 5 cm. Bereken de oppervlakte in twee decimalen nauwkeurig.
       
3. Twee cirkels met straal 5 en straal 9 doorsnijden elkaar.
Daarbij is de lengte van lijnstuk PQ gelijk aan 8.

Bereken de gele oppervlakte in de figuur hiernaast in twee decimalen nauwkeurig.
     
4. Driehoek ABC heeft hoek A = 45 en hoek C = 115º
AC = 8  en  AB = 12
M is het midden van AC

Er zijn twee cirkelbogen getekend met cirkels die als middelpunt een hoekpunt van de driehoek hebben..

Bereken de oppervlakte van het gele gebied hiernaast. Rond je antwoord niet af!
     
5. Twee cirkels met stralen 6 cm en 10 cm doorsnijden elkaar want hun middelpunten liggen 8 cm van elkaar af.

Bereken de oppervlakte van de doorsnede van de cirkels in twee decimalen nauwkeurig.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)