| |
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
| De
productregel. |
 |
|
|
|
Stel dat je een functie hebt die
is opgebouwd uit twee andere functies met elkaar vermenigvuldigd. Dan weet je nog niet hoe je daar de afgeleide van kunt maken. Je kunt het
al wel door haakjes weg te werken: f(x) = (x2
+ 5) (x5 + 2x) is een makkie intussen.
Verder kun je het ook al door machten samen te nemen: f(x)
= 2x√x daar lig je
natuurlijk ook niet meer wakker van.
Maar hoe is het met f(x) = x √(x
+ 3) ?????????
In het algemeen: y = y1 y2
waarbij je niet kunt samennemen of haakjes wegwerken?
Zo'n functie y die ontstaat door twee andere functies met elkaar
te vermenigvuldigen heet een productfunctie.
We gaan weer de methode van het "punt-vlak-ernaast"
gebruiken.
Stel dat tussen punt P en punt Q (afstand dx van elkaar, met dx
zo klein mogelijk: hoe kleiner hoe beter!!) de functie y1
toeneemt met dy1 en de functie y2
met dy2. Hoe zit het dan met de toename van de
productfunctie y?
In punt P is yP = y1 y2
In punt Q zijn die y1 en y2
toegenomen, dus is yQ = (y1 +
dy1)(y2 + dy2)
Werk de haakjes weg: yQ = y1
y2 + y1 dy2 +
dy1 y2 + dy1
dy2
Omdat yP = y1 y2
is de toename van y gelijk aan dy = y1
dy2 + dy1 y2 +
dy1 dy2
Maar als je dx heel heel heel heel heel klein kiest, dan is dy
dat ook.
Dan kun je dat laatste stukje dy1 dy2
verwaarlozen ten opzichte van die andere twee. Kijk maar: |
|
|
|
neem bijvoorbeeld y1
= 5 en y2 = 8 en dy1 = 0,00001 en dy2
= 0,00006
Dan is yQ = (5 + 0,00001)(8 + 0,00006) = 5 8
+ 5 0,00006 + 0,00001 8 + 0,00001 0,00006
En omdat yP = 5 8 is dy
= 5 0,00006 + 0,00001
8 + 0,00001 0,00006
Die eerste twee stukken zijn al klein, maar dat derde stuk is nog
veeeeeeel kleiner. |
|
Dus dy ≈
y1 dy2 + dy1
y2
Om de afgeleide van y te krijgen moeten we dat delen door dx: |
|
 |
| |
|
| Het volgende plaatje geeft aardig
weer wat er bij die productregel nou precies gebeurt: |
| |
|
De hele rechthoek heeft oppervlakte (y1+
dy1)(y2 + dy2)
dus dat is yQ.
Dat felgroene grootste stuk is y1
Χy2
en dat is yP
Het verschil is die beide randstukken, waarmee we dat kleine
vierkantje daar helemaal onder in de hoek verwaarlozen.
Bedenk dat dy1 en dy2 zo
klein mogelijk zijn.
Zo klein als je maar wilt....
Dan is inderdaad dy ≈
y1 dy2 + dy1
y2
en dus is y' = y1
Χ y2' + y2
Χ y1' (alles door dx delen) |
 |
|
Deze regel heet de productregel.
Als we y1 functie f noemen en y2
functie g dan geeft dat:
|
| (f
g)'
= f '
g + f
g ' |
|
|
|
Ik geef het toe.
Dit was een beetje "aannemelijkmakerij"
Een wat formeler bewijs kun je hiernaast vinden........ |
| |
|
 |
Voorbeeld 1: Bereken
de afgeleide van y = (x2 + 2x)
(4x3 + 3)
Daar staat f g met f(x)
= x2 + 2x en g(x) = 4x3
+ 3
De productregel toepassen: |
|
|
|
| |
Voorbeeld 2: Bereken
de afgeleide van y = √x
(2x4 + 5x)
Daar staat f g met f(x) = √x
= x0,5 en g(x) = 2x4
+ 5x
De productregel toepassen: |
|
|
|
|
|
|
|
| Denk
om de kettingregel! |
|
|
Tijdens het toepassen van de
productregel kun je de kettingregel nodig hebben, namelijk om die f '
of g' te berekenen.
Neem bijvoorbeeld de functie y = (x2
+ 5x) √(6 + 5x3)
Daar staat y = f g met f(x)
= x2 + 5x en g(x) =
√(6
+ 5x3) = (6 + 5x3)0,5
Als je nu de productregel toepast moet je er wel om denken dat g
een kettingfunctie is (er staat eigenlijk [ ]0,5 )
De afgeleide wordt daarom: |
|
|
| Waarbij die laatste 15x2
dus de afgeleide is van 6 + 5x3 |
| |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN |
|
|
| 1. |
Bereken met de productregel de
afgeleide van de volgende functies: |
| |
|
|
|
|
|
a. |
f(x) = x √(x
- 2) |
e. |
f(x) = x3 ( x
+ √x - 4) |
| |
|
|
|
|
|
b. |
f(x) = (x5
- 6x) (2x4 -
4x2) |
f. |
y = (x2 + 3x)
1/(x - 2) |
| |
|
|
|
|
|
c. |
y = (x + 1)4 x3 |
g. |
y = (3x -
5)3
(4 - 2x) |
| |
|
|
|
|
|
d. |
y = (3x + x2 )
√x |
h. |
y = √(x -
1) (x
- x4) |
|
|
|
|
|
| 2. |
De vragen b) en d) en e)
hierboven kun je ook vrij eenvoudig zonder de productregel uitrekenen.
Doe dat en controleer of de antwoorden met en zonder de
productregel gelijk zijn. |
|
|
|
|
| 3. |
Gegeven is de functie
f(x) = √(x
+
5)
Op de grafiek van f ligt punt P met xP
= p en p < 0
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
a. |
Druk de lengte van OP uit in p. |
| |
|
|
| |
b. |
Bereken voor welke p de afstand OP minimaal
is. |
|
|
|
|
|
|
|
Q is de projectie van P op de x-as,
dus
Q = (p, 0) |
|
|
|
| |
|
|
| |
c. |
Maak een formule voor de oppervlakte van driehoek
OPQ, en bereken daarna de maximale oppervlakte. |
|
|
|
|
| 4. |
De grafiek van f(x)
= x √(x + 4) ziet er uit als
hiernaast.
Bereken algebraοsch de x- coφrdinaat van de top van deze
grafiek. |
 |
| |
|
| |
|
| |
|
|
|
| 5. |
De functie f is
gegeven door
f(x) = x√(6
- 2x).
De lijn
l
raakt de grafiek van
f
in
het punt
P(1,
2)
Punt R is het snijpunt van
l
met de
x-as.
Punt
Q is het beginpunt van de
grafiek van f.
Bereken exact de oppervlakte van driehoek
PQR |
 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|