© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De som van een rekenkundige rij.
   
Voor de verandering begin ik deze les eerst eens met een formule, en daarna pas geef ik een bewijs ervan.

Het gaat over de som van een aantal (n) opeenvolgende getallen van een rekenkundige rij. Dat wil zeggen: tel  n opeenvolgende getallen van een rekenkundige rij bij elkaar op. Wat komt daar uit?

De beloofde formule:  "De som (Σ) van n termen van een rekenkundige rij is gelijk aan:"
 
Σ =  1/2 • n • (eerste  + laatste)
 

Okι. dat was de formule.
Dan nu maar de bewijzen....

Een visueel bewijs.....
   
Stel dat we 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ..... + 23 willen optellen.  Dat is namelijk een rekenkundige rij, dat had je hopelijk al wel gezien (als je dat niet had gezien ga dan alsjeblieft hier weg en begin opnieuw met het onderwerp rijen en reeksen....).

OK... we maken van deze getallen eerst staafjes van zoals hiernaast is getekend.

De som is dus gelijk aan de oppervlakte van al die staafjes hiernaast.

En nou is die oppervlakte toevallig erg makkelijk uit te rekenen.

Als je hem halverwege doorsnijdt dan passen de beide helften precies op elkaar!!!
Kijk maar in de tekeningen hieronder.

   

   
De oppervlakte is dus  0,5n • (E + L) en dat is inderdaad de formule van hierboven. Ook als n een oneven aantal is, kun je dit trucje uithalen door gewoon die middelste staaf doormidden te doen.
   
Voorbeeldje.
Bereken:  4 + 9 + 14 + 19 + 24 + 29 + ... + 74

Dit is een rekenkundige rij.
Noem de eerste term u0, dan is de directe formule:  un = 4 + 5n
4 + 5n = 74  geeft  n = 14 dus de laatste is nummer 14
 Er staan dus 15 termen (0 tm 14).
De som is daarom  0,5 • 15 • (4 + 74) = 585.		  
   
   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Bereken algebraοsch:
         
  a. 6 + 14 + 22 + 30 + 38 + 46 + 54 + ...  + 102
         
  b. 1 + 49 + 97 + 145 + 193 + ... + 481
         
2. Een kunstenaar gaat een grote blinde muur in een woonwijk opfleuren.
De muur is vierkant en is 8 bij 8 meter.

Dat doet hij door er afwisselend donkerpaarse en lichtpaarse ringen te tekenen met hetzelfde middelpunt.
Hij begint met een donkerpaars cirkeltje met diameter 6 cm (eigenlijk een dicht ringetjes met breedte 3)
De eerste ring daaromheen (n = 2)  heeft breedte 5 cm, en elke volgende ring heeft breedte 2 cm breder dan de vorige. Dat geeft zo'n soort effect:

       
 

       
  a. Geef een directe formule voor de breedte van ring nummer n.
       
  Voor de totale diameter D die hij na n ringen heeft geverfd geldt:  D(n) = 4n + 2n2
       
  b. Toon aan dat deze formule juist is, en leg daarna uit dat uit deze formule volgt dat de kunstenaar in totaal 19 volledige ringen kan verven.
       
  Na  19 ringen is de schutting dus vol geverfd.
       
  c. Wat is de totale oppervlakte van alle donkerpaarse ringen die hij heeft geverfd?
       
3. Bij de ploegenachtervolging schaatsen op de Olympische Winterspelen rijdt een mannen ploeg 16 halve rondjes (ongeveer 3100 meter)
Elk half rondje wordt de rondetijd gemeten.
Stel dat een ploeg het eerste halve rondje rijdt in  maar elke volgend half rondje 0,08 seconden langzamer dan het vorige.
       
  a. Wat zal dan de eindtijd dan zijn?  
       
  Het wereldrecord in 2024  was 3:44;22 en was in handen van  de Noorse schaatsers Sander Eitrem, Peder Kongshaug en Sverre Lunde Pedersen.
       
  b. Hoe snel zou een ploeg het eerste rondje moeten rijden om met dit oplopende schema (van 0,8 seconden per half rondje) dit wereldrecord te schaatsen?
       
4.      
 

       
  a. Ik ben van plan 100 trapjes zoals hierboven te gaan tekenen.
Hoeveel procent van de totale lengte van alle lijntjes die ik moet tekenen voor 100 trapjes heb ik na 60 trapjes al getekend?
       
  b. Bereken de oppervlakte van het honderdste trapje.
       
5. (olympiadevraagstuk)
Men vormt een spiraal door allemaal halve cirkels tegen elkaar aan te leggen. De afstand tussen twee cirkels is steeds 1. Zie de figuur hiernaast.

     
  a. Wat is de lengte van de spiraal als men 100 zulke halve cirkels tekent?
     
  b. Hoe lang wordt zo'n spiraal als de grootste halve cirkel straal 50 heeft?
     
  c. Hoe groot zou de straal van de grootste halve cirkel vierkant moeten zijn om een spiraal met lengte meer dan 10000 te krijgen?
       
     
Leuke breinbreker...

Iemand wil graag uitrekenen hoeveel  1002 - 992 + 982 - 972 + ... + 22 - 12 is.
Helaas is dit geen rekenkundige of meetkundige rij.
Maar kijk wat er gebeurt als je de termen twee-aan-twee bekijkt:

1002 - 992 = 1002 - (100 - 1)2 = 1002 - 1002 + 2 • 100 - 1 = 2 • 100 - 1
982 - 972 = 982 - (98 - 1)2 = 982 - 982 + 2 • 98 - 1 = 2 • 98 - 1

Zo wordt de rij  (2 • 100 - 1) + (2 • 98 - 1) + (2 • 96 - 1) + , ....., +  (2 • 2 - 1)
Dat is 199 + 195 + 191 + ... + 3 

Een rekenkundige rij van  50 termen waarvan de som gelijk is aan  0,5 • 50 • (199 + 3) = 5050

Leuk toch.......?
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)