© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Domein en Bereik.  
   
Een functie is een soort voorschrift (een formule) dat getallen koppelt aan andere getallen. Dat kan op allerlei manieren, maar er zijn wel bepaalde voorwaarden.
Eigenlijk is een functie een soort machinetje waar je boven een getal in kunt gooien, en waar onder dan na een poosje een getal komt uitrollen. Zoals in het plaatje hiernaast.

Wiskundigen proberen er een etiket op te plakken dat in het kort vertelt wat het machinetje doet. Ze noemen het getal wat je er ingooit meestal x en het getal dat er uitrolt meestal y.

Notatie
Het etiket ziet er dan uit als y = ......  of als  f(x) = ......  en dan staat daar op die stippeltjes iets met de letter x. Eén of andere formule die aangeeft hoe je van een bepaalde x een y kunt maken.
 
Voorbeeld.
 f (x) = x + 6  betekent zoveel als:  er is een formule met x en wat er uitkomt (de y) kun je als volgt berekenen: je moet x + 6 doen.
Dus y = x + 6  is precies hetzelfde als  f(x) = x + 6
Wat je moet onthouden is het verschil tussen de volgende twee vragen;
gegeven is  f(x) = x + 6
vraag 1. Bereken f (4)
vraag 2. Los  op  f (x) = 4

De  eerste vraag betekent:  "neem voor x het getal 4 en bereken y". In dit geval komt er uit  y = 4 + 6 = 10, 
dus  f(4) = 10.  Bedenk dat f(x) in zijn geheel eigenlijk een y is!!!!
De tweede vraag betekent:   "y = 4, rara welke x hoort daar bij?" In dit geval moet dan gelden  x + 6 = 4 en een beetje proberen levert al gauw x = -2 op;  f (-2) = 4
   
Wortelgrafieken.  
Op een zondagmiddag heb ik even niets te doen, dus ga ik lekker wat wiskunde bedrijven. Ik besluit de grafiek van y = √x eens te gaan plotten, want dat heb ik nog nooit gedaan. (Try before you die?)
Dat levert me de grafiek hiernaast op.
Nou ja, zeg!
Stom apparaat!!!

Mijn TI-84 weigert zomaar om de grafiek links van de y-as te tekenen.
Ik tik een paar keer op het venstertje maar er gebeurt niets! Aan de batterijen kan het ook niet liggen, want die heb ik net vervangen.....

 
Wat is hier aan de hand?
Als ik weer wat gekalmeerd ben, bedenk ik me dat dat natuurlijk geen kwade opzet van mijn TI-84 is. Kennelijk kan het apparaat gewoon niet van elke x de wortel trekken.
Aan de grafiek te zien lukt het niet bij wortels van een negatief getal.
Ach natuurlijk!
Dat is ook wel logisch eigenlijk.
Het is namelijk onmogelijk om de wortel van een negatief getal te trekken!
Anders gezegd:
   
Het domein van de functie  f(x) = √x  is  [0, →〉
Waarom is dat zo?
Dat is simpel te zien met wat wiskundigen noemen een  "bewijs uit het ongerijmde". Gaat zo: 
•  Stel dat bijv. √(-5)  wél zou kunnen.
•  Dan is er dus een getal x zodat geldt x2 = -5
•  Maar dat kan niet, want een getal in het kwadraat is altijd positief.
•  Met onze aanname komen we uit op onzin, dus kan die niet kloppen, dus bestaat √(-5) niet.

Conclusie:  de grafiek van y = √x bestaat niet voor x < 0.
Het laatste punt waar hij nog wel bestaat is bij x = 0 zélf   (want √0 = 0 kan nog nét). Daar stopt de grafiek abrupt.
Zo'n punt waar de grafiek ineens stopt noemen we een randpunt.
   
Randpunten bij ingewikkelder vergelijkingen
Die kun je heel simpel vinden:
Als je een vergelijking hebt waar ergens een wortel in staat, dan kijk je alleen naar het deel onder de wortel. Als dat deel nul is, dan kan de wortel nog nét en daar heb je dan een randpunt.
 
Voorbeeld:    Geef de coördinaten van het randpunt van de grafiek van    f(x)  = 2x3 + √(3x - 21) + 15 

Oplossing: 
De wortel wordt genomen van  3x - 21.
Dat is nul als x = 7 dus daar zal een randpunt zitten.
f(7) = 2 • 73 + √(3• 7 - 21) + 15 = 701   dus het randpunt is  (7, 701).
Aan de kant waar 3x - 21 > 0 bestaat de grafiek wel, en aan de kant waar 3x  - 21 < 0 bestaat de grafiek niet.
Ofwel:  het domein van deze functie is  [7, →〉
   
Hoe loopt de grafiek in de buurt van zo'n randpunt?
   

   
Als je goed naar de grafiek kijkt zie je dat de grafiek bij dat randpunt  verticaal gaat lopen. Zoals in het meest linkse plaatje dus.
   
Bereik.
   
Een tweede vraag die we ons bij functies moeten stellen is natuurlijk:

 "Kan alles er uitkomen?" 

ofwel:  "Wat kan y allemaal worden?"

Dat  y niet altijd zomaar alles kan worden zie je heel eenvoudig aan bijv. de functie y = x2 . Daar kunnen namelijk alleen maar positieve getallen uitkomen (dat komt natuurlijk door het kwadraat).
De y-waarden die er wel uit kunnen komen noemen we vanaf nu het Bereik van de functie.
Bij de functie y = x2  zou het bereik dus zijn  "alles groter of gelijk aan nul"   ofwel  [0, →〉  

Het bereik kun je meestal het best gewoon aflezen uit de grafiek.
   
 
 
 
1. Geef de coördinaten van het randpunt van de volgende functies, en geef ook aan wat het domein is en wat het bereik is.
   
a. f(x) = √(4 - 2x) 
     
b. f(x) = 2 - 3√(x + 5)
     
c. f(x) = 6√(3x + 9)
     
  d. f(x) = 7x + 2√(x - 3)
     
  e. f(x) = 4x - √(4x - 1)
     
  f. f(x) = √(9 - x2)
2. Geef een mogelijke formule bij de volgende grafieken:
   
  a. Een grafiek met een randpunt bij x = 5 en die bestaat voor x > 5.
     
  b. Een grafiek met een randpunt  (-2, 4).
     
  c. Een grafiek met een randpunt  (1,3) en die bestaat voor x > 1.
     
  d. Een grafiek met een randpunt bij x = 4 en die bestaat voor x < 4
3.

     
  Hierboven zie je een rode rechthoek ABCD waarin de grafieken van y = 2√x  en  y = 2√(14 - x) zijn getekend.
O en Azijn de randpunten van die grafieken.
     
a. Welke formule hoort bij welke grafiek?
     
b. Bereken de oppervlakte van driehoek OAS.
     
  Men wil nu binnen een rechthoek OABC met  OA = 16  weer zo'n zelfde figuur tekenen met twee wortelgrafieken, zodat de oppervlakte van  OAS gelijk wordt aan  40.
     
  c. Geef mogelijke vergelijkingen voor de twee functies die men daarvoor kan gebruiken.
   
4. Hiernaast staat een deel van de grafieken van
y = 1 + √(4 - x)  en  y = √(5 - x)

Zoals je ziet gaan ze beiden door (4,1)

Hoe kun je in één oogopslag zien welke de grafiek van y = √(5 - x)  is?

 
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)