© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wortelvergelijkingen.  
Een vergelijking met wortel(s) erin los je in drie etappes op:
stap 1: ISOLEREN
stap 2: KWADRATEREN
stap 3: CONTROLEREN
Laten we deze drie stappen maar stuk voor stuk langslopen.
STAP 1:  ISOLEREN.

Dat betekent eigenlijk:  "Zet de wortel alleen".  En dat doe je net als bij de balansmethode.
Een voorbeeldje zal een boel duidelijk maken.
Voorbeeld 1.    Los op:  2 + 4 • √(2x + 1) = 14
Eerst van beide kanten 2 aftrekken:  4 • √(2x + 1) = 12
Delen door 4:   √(2x + 1) =  3
En daarmee is de wortel geïsoleerd!
STAP 2:  KWADRATEREN

Voorbeeld 2.

Los op:  2√(x - 3) = 10

Er staan hier maar twee blokjes; aan beide kanten van het = teken eentje.  Kortom, de wortel staat al bijna alleen, alleen de 2 moet nog weg.
Dat doen we door alle (beide in dit geval) blokjes te delen door 2:
√(x - 3) = 10/2   ⇒  √(x - 3) = 5.  
Met de balansmethode staat er nu dus:
Nu doen we beide schalen in het kwadraat:

Dus er staat  (√(x - 3))2 = (5)2
En wat gebeurt er nu aan de linkerkant? De wortel verdwijnt! Daar staat nu immers één of ander getal (x - 3) waar je eerst de wortel van neemt, en dat je daarna weer in het kwadraat doet; dan komt x - 3 zélf er natuurlijk gewoon weer uit. Als je de wortel van bijv. Ö9 neemt krijg je 3, en als je daarna 3 in het kwadraat neemt komt 9 er weer uit.

Kortom, er staat gewoon  x - 3 = 25  en dat levert al snel  x = 28.

Voorbeeld 3.

Los op:   6 - √(x + 8) = 2x  - 14

Deze opgave bestaat uit maar liefst 4 blokjes:

Om de wortel alleen te zetten brengen we het blokje 6 naar de andere kant:
-√(x + 8) = 2x - 14 - 6   ⇒   -√(x + 8) = 2x - 20
Nu moet het minteken weg, en dat kan door alle blokjes te vermenigvuldigen met -1:   √(x + 8) = -2x + 20

Zo. De wortel staat alleen.
Beide kanten van de balans in het kwadraat:

Let goed op dat er haakjes staan:   (√(x + 8))2  =  (-2x + 20)2
Aan de linkerkant valt de wortel weg.
Aan de rechterkant moet je goed uitkijken; er staat eigenlijk  (-2x + 20) • (-2x + 20) en in de les over haakjes zagen we dat je in zo'n geval alle blokjes binnen de linkerhaakjes moet vermenigvuldigen met alle binnen de rechterhaakjes:

(x + 8) = -2x • -2x  + -2x • 20 + 20 • -2x + 20 • 20
⇒  x + 8 = 4x2 - 40x - 40x + 400
⇒  x + 8 = 4x2 - 80x + 400

Zo, de haakjes zijn weg.  Omdat er rechts een kwadraat staat gaan er nul van maken en dan zal dat straks wel weer de ABC-formule worden.

⇒  0 =  4x2 - 80x + 400 - x - 8
⇒  0 =  4x2 - 81x + 392

a = 4,  b = -81 en c = 392 levert ons op   x = 121/4  of  x = 8
STAP 3.  CONTROLEREN.

En nu komt het vreemde:  alhoewel we alleen maar legale dingen met onze vergelijking hebben gedaan is het toch mogelijk dat er foute antwoorden in onze oplossingen zijn geslopen. Dat heten zogenaamde "Valse Wortels". 
Omdat er zulke valse wortels kunnen zijn zit er niets anders op dan onze antwoorden te controleren
x = 8 invullen bij voorbeeld 2 geeft 6 - √16 = 2 • 8 - 14  ofwel 2 = 2 en dat klopt!
x = 121/4 invullen geeft  6 - √25 = 2 • 121/4 - 14  ofwel  1 = 11
AHA! Betrapt!!
Die 121/4 is zo'n Valse Wortel en klopt niet. De enige oplossing is dus x = 8.

Als je graag beter wilt weten waar die Valse Wortels nou precies vandaan komen, dan moet je de verdieping hiernaast maar lezen.

   
 
 
 OPGAVEN
1. Los op:
             
a. x = √(x + 4)   f. 8√x - x = 15  
             
b. 8 - 2√(x) =  x - 7   g. √(13 - x) = x - 7  
             
c. -3√(4x + 2) = -20   h. 6x + 1 = 2√x + x + 4   
             
d. x + 2 = 22 + √x   i. x - √x = 42  
             
  e. √(12 - 4x) + x = 4   j. √(√x + 5) = 7  
             
2. Door stijging van de gemiddelde temperatuur op aarde worden gletsjers steeds kleiner. Het ijs verdwijnt van plaatsen die eeuwenlang door de gletsjer waren bedekt. Waar het ijs is verdwenen ontstaan vaak korstmossen. Met behulp van deze mossen is het vaak mogelijk bij benadering het jaartal te bepalen waarop het ijs verdwenen is. De mosgroei treedt min of meer cirkelvormig op en er is een duidelijk verband tussen de diameter van het mos en de leeftijd. Hoe groter de diameter van het mos, hoe ouder het mos is, en dus hoe langer het geleden is dat die plaats nog door een gletsjer was bedekt.
 
 

Een formule die het verband tussen het aantal jaren (T) dat een plaats ijsvrij is en de diameter (D in mm) van het korstmos op die plaats beschrijft is D = 6,9 • √(T - 12)
             
  a. Welke invloed heeft het getal 12 op de grafiek van D?
             
  b. Bereken algebraïsch wanneer de diameter 60 mm zal zijn. Rond je antwoord af op twee decimalen.
             
  Volgens een ander model  begint de diameter van het korstmos te groeien 8 jaar nadat het ijs verdwenen is, en zal de diameter 20 jaar nadat het ijs is verdwenen gelijk zijn aan 16 mm.
             
  c. Hoeveel procent is het korstmos volgens het eerste model op dat moment (T = 20) dikker dan volgens dit tweede model?
             
  d. Stel een formule op voor de dikte van het korstmos volgens het tweede model en bereken vervolgens wanneer het korstmos volgens beide modellen dezelfde dikte zal hebben
             
3. In de figuur hiernaast zijn de grafieken getekend van de functies
 f (x) = √(20 - 4x) 
en  g(x) = x - 3

       
  a. Los op  f(x)  ≤  g(x). Rond de getallen in je antwoord die niet geheel zijn af op twee decimalen.
       
  De verticale lijn x = a snijdt de grafiek van  f  in punt S en de grafiek van g in punt T; S ligt boven T.
       
  Onderzoek voor welke waarde van a de lengte van ST gelijk is aan 2,5. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
             
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)