© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Normale verdeling afleiden uit de Binomiale.
       
Dit wordt een behoorlijk theoretische les, waarin we zullen bekijken hoe de normale verdeling uit de binomiale verdeling is af te leiden als N erg groot wordt.
De binomiale verdeling is:

       
We nemen nu eerst de natuurlijke logaritme van deze P (met gebruik van de rekenregels voor logaritmen):
 

lnP = lnN! - lnk! - ln(N - k)! + klnp + (N - k)ln(1 - p)
 
Maar voor grote waarden van x geldt dat  lnx!  ≈ xlnx - x     (De afleiding daarvan kun je hier vinden).
Voor de afgeleide daarvan geldt dan (productregel):    (lnx!)'  ≈ 1 • lnx + x • 1/x - 1 = lnx   

De lnP hierboven is een functie van k.
Laten we de afgeleide  ervan bekijken:   
 

(lnP)' = -lnk + ln(N - k) + lnp - ln(1 - p)                  ......(1)
 
Om het maximum van lnP (en dus ook van P) te vinden stellen we die afgeleide gelijk aan nul: 
-lnk + ln(N - k) + lnp - ln(1 - p) = 0  en dat kun je met de rekenregels voor logaritmen weer samennemen:

⇒  (N - k)p = k(1 - p)
⇒  Np = kp + k(1 - p)
⇒  k = Np
Oké, nog niet echt verrassend; we hebben gevonden dat P maximaal is bij het gemiddelde  k = Np  dus daar ligt de top van de binomiale verdeling.

Nu gaan we de binomiale verdeling benaderen met een  Taylorreeks  rond dat gemiddelde Np:
       

f (x) =  f(Np) +  f '(Np) • (x - Np)  + 1/2! • f ''(Np) • (x - Np)2  +  1/3! • f '''(Np) • (x - Np)3  + .....
       
(Daarbij is die f uiteraard onze lnP, en is x gelijk aan onze k)

Die eerste afgeleide wordt uiteraard nul (bij  x = Np is er immers een maximum).
Die tweede afgeleide is interessanter:   voor (lnP)'' moeten we vergelijking (1) hierboven nog een keer naar k differentiëren:   (lnP)'' = -1/k - 1/(N - k)   en voor k = Np  geeft dat:

De eerste drie termen van de Taylorreeks geven dan  (met q = 1 - p):     lnP = (lnPmax) - 1/(2Npq) • (x - Np)2
Nu van beide kanten de e-macht nemen en we hebben P gevonden:
 

       
Pmax kunnen we vinden doordat we weten dat de som van alle kansen samen gelijk moet zijn aan 1.  Als we die som weer benaderen door een integraal, dan geeft dat:

Die laatste integraal heet de Gauss-integraal en is in deze les te vinden.

als we x daarin vervangen door   y/√(2Npq)  dus  dx = √2Npq • dy  dan geeft onze integraal dat:   1 = Pmax • √(2πNpq)
Noem tenslotte  √(Npq) = σ  en  Np = μ, en dan wordt de formule voor P(x):
       

 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)