berekeningen normale verdeling

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Berekeningen aan de normale verdeling.

Zo. Nu wordt het de hoogste tijd om eens wat serieuze berekeningen aan klokvormen te gaan verrichten. Kijk, dat gedoe met die vuistregels is wel aardig natuurlijk om een beetje een idee van de normale verdeling te krijgen, maar je hebt er verder niet echt veel aan. In praktijk komt het natuurlijk niet vaak voor dat je precies 1 of 2 standaardafwijkingen van het gemiddelde af bent. Dat zou wel héél toevallig zijn, toch?
Gelukkig heeft onze TI-83 een knop om tussen twee willekeurige x-waarden uit te rekenen wat de oppervlakte onder de normale verdeling is. Het volgende plaatje vat goed samen hoe het werkt:

• De functie normalcdf vind je bij 2nd - Distr.
• L is de linkergrens (kleinste x) en R is de rechtergrens (grootste x).
• Tussen de letters in staat steeds zo'n dikke komma.
• De oppervlakte is een getal tussen 0 en 1 en wordt aangegeven met de letter Φ.

Voorbeeld.
de diameter van de boomstammen van eikenbomen in een bos is normaal verdeeld met een gemiddelde van 27 cm en een standaarddeviatie van 6 cm. Hoeveel procent van de bomen zal een stamdiameter tussen de 20 en 25 cm hebben?

normalcdf(20, 25, 27, 6) = 0,2477 dus dat is 24,77%

Het zakgeld dat brugklassers per week krijgen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 5 euro en een standaarddeviatie van 0,80 euro.
Als ik een groep van 2000 brugklassers zou vragen naar hun zakgeld, hoeveel van hen zouden dan waarschijnlijk zeggen dat ze tussen de 3 en 4 euro zakgeld per week krijgen?

199

Ik heb de laatste tijd heel hard getraind, en de tijd die ik hardloop over 10 kilometer is nu normaal verdeeld met een gemiddelde van 45 minuten en een standaarddeviatie van 2 minuten.
Hoe groot is de kans dat mijn volgende 10 kilometer meer dan 43 minuten maar minder dan 44 minuten gaat duren?

0,15

De hoeveelheid regen die er in Februari in ons land valt is normaal verdeeld met een gemiddelde van 46 mm en een standaarddeviatie van 8 mm.
Hoe groot is de kans dat er in Februari dan tussen de 36 en 40 mm óf tussen de 46 en 50 mm regen valt?

31,2%

Twee Speciale gevallen.

De twee speciale gevallen kun je hieronder zien in een klokvorm:

In deze gevallen loopt het gevraagde gebied helemaal door naar één kant, en is er maar één echte grens af te lezen. Wat moet je in zo'n geval doen? Ach, waarschijnlijk had je het zelf al wel geraden: Je kiest die onbekende grens gewoon ver genoeg weg. Doe maar gewoon een belachelijk groot (positief of negatief) getal, zodat je zeker weet dat wat er dan nog buiten die grens valt zeker te verwaarlozen is.

Voorbeeld.

IQ-scores zijn normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 en een standaarddeviatie van 10. Mensen die een IQ-score van 130 of hoger scoren noemt men hoogbegaafd. Bereken hoeveel procent van de bevolking hoogbegaafd zal zijn.

De ondergrens L is gelijk aan 130, en de bovengrens kiezen we "hoog genoeg", bijvoorbeeld R = 100000. Zo'n belachelijk hoog IQ komt natuurlijk niet voor, maar dan weten we tenminste zeker dat we de oppervlakte naar rechts toe helemaal bestrijken. Dat geeft oppervlakte normalcdf(130, 100000, 100, 10) = 0,00134 dus dat is 0,134%.

Pakken suiker worden in de fabriek door een vulmachine gevuld. Zo'n machine is natuurlijk niet oneindig nauwkeurig, en de inhoud van de pakken varieert een beetje.
De inhoud van de gevulde pakken is normaal verdeeld.
Hiernaast zie je twee merken suiker (van Gilse en CSM) met daarboven het gemiddelde vulgewicht en de standaarddeviatie daarvan.

Welk merk suiker zou je kopen als je graag minstens 1015 gram suiker wilt hebben?

Zo eind oktober hebben de brugklassen van een middelbare school al twee wiskundeproefwerken gehad. Op beide proefwerken waren de cijfers bij benadering normaal verdeeld. Op het eerste proefwerk was het gemiddelde 7,23 met een standaarddeviatie van 1,42 en op het tweede proefwerk was het gemiddelde 6,54 en de standaarddeviatie 1,56.

Hoeveel procent van de kinderen zal op het eerste proefwerk een onvoldoende hebben gescoord?

11%

Lidwien is goed in wiskunde. Ze had op het eerste proefwerk een 8,9 en op het tweede een 8,5. Alhoewel dat tweede cijfer iets lager is dan het eerste vindt zij toch dat ze op het tweede proefwerk beter heeft gescoord. Ben je dat met haar eens?

Het aantal kinderen dat op beide proefwerken hoger dan een 7 heeft gescoord is 28%. Laat met een berekening zien dat dat hoger is dan je aan de hand van de gegevens zou verwachten en probeer daar een verklaring voor te geven.

Een fruitteler heeft een grote boomgaard met appelbomen. Hij weet dat het gewicht van de appels die aan zijn bomen groeien uiteindelijk normaal verdeeld zal zijn met een gemiddelde van 120 gram en een standaarddeviatie van 13 gram.
Op de veiling worden de appels verkocht in drie gewichtsklassen: klasse C heeft gewicht tot 110 gram, klasse B heeft gewicht tussen 110 gram en 125 gram, en klasse A heeft gewicht meer dan 125 gram.
Voor klasse-C appels krijgt hij 0,05 euro per appel, voor klasse B is dat 0,08 per appel en voor klasse A krijgt hij 0,12 euro per appel.
Hoeveel euro opbrengst kan de fruitteler verwachten als hij 20000 appels zal oogsten?

1747,66

Een hovenier bij gemeentewerken plant op een gegeven moment 2000 nieuwe plantjes in de stad.
Hij weet dat de levensduur daarvan normaal verdeeld is met een gemiddelde van 80 dagen en een standaarddeviatie van 20 dagen.
Na 50 dagen gaat hij alle planten controleren en vervangt degenen die dood zijn gegaan door nieuwe plantjes (ook weer met gemiddelde levensduur 80 en standaarddeviatie 20).

Na 120 dagen (vanaf het begin gerekend) doet hij dat weer.
Hoeveel planten zal hij naar verwachting de tweede keer moeten vervangen?

1862

Volgens één van de vuistregels ligt 68% van de waarnemingen binnen één standaardafwijking van het gemiddelde. Zoek uit hoe groot dat percentage in vier decimalen nauwkeurig is.

68,27%

De hoeveelheid neerslag in de Sahara is normaal verdeeld met een gemiddelde van 85 mm per jaar en een standaarddeviatie van 12 mm.

Hoeveel keer zal er in de komende eeuw in een jaar minder dan 75 mm neerslag vallen?

20 à 21 jaar

Men noemt een Saharajaar extreem nat als er meer dan 110 mm valt. Hoe groot is de kans op zo'n extreem nat jaar?

0,0186

10.

Op een grote kippenboerderij verzamelt men 's morgens alle gelegde eieren om die te gaan verkopen. De eieren worden ingedeeld en gesorteerd in vier klassen, met elk een verschillende opbrengst per ei:

klasse	S	M	L	XL
gewicht (gram)	< 53	53 -< 63	63 -< 73	> 73
opbrengst (euro)	0,05	0,07	0,08	0,10

Het gewicht van de eieren van de kippen op deze boerderij is normaal verdeeld met een gemiddelde van 66 gram en een standaarddeviatie van 10 gram.

Hoeveel zal een partij van 5000 eieren naar verwachting opbrengen?

DISCREET en CONTINU

Bedenk goed, dat de normale verdeling een continue verdeling is. Dat betekent dat alle meetwaarden kunnen voorkomen. De berekeningen gaan met een vloeiende klokvorm, en niet met de horten en stoten van een histogram. Dat betekent bijvoorbeeld dat de normale verdeling geen verschil kent tussen "KLEINER" en "KLEINER-OF-GELIJK".
Kijk maar:

P(X < 80) is de gele oppervlakte in de linkerfiguur.
P(X ≤ 80) is de gele oppervlakte PLUS DE BLAUWE LIJN in de rechterfiguur.
Maar die blauwe lijn is oneindig dun, dus die heeft oppervlakte NUL. Beide figuren geven daarom dezelfde oppervlakte, en dus dezelfde kans.
HEERLIJK! Je hoeft lekker nergens op te letten.