middelpuntshoek en omtrekshoek

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Omtrekshoek en middelpuntshoek.

Eerst maar even wat namen bij een cirkel.
(Met een cirkel wordt trouwens eigenlijk alleen bedoeld de omtrek van een cirkel. Het "binnengebied" hoort er niet bij).

Een boog is een stukje van de omtrek van een cirkel.

Een koorde is een recht lijnstuk tussen twee punten op de omtrek van een cirkel.

Hiernaast zie je een cirkel met koorde AB en boog CD.

omtrekshoek.

De omtrekshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van een willekeurig ander punt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog.
Hiernaast zie je een boog AB met een aantal omtrekshoeken erbij getekend.
En wat blijkt?

De omtrekshoeken van een boog zijn allemaal even groot

Het bewijs daarvan volgt straks... Even geduld AUB....

middelpuntshoek.

De middelpuntshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van het middelpunt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog.
Dat is er bij elke boog dus maar eentje.
Het hoekpunt van een middelpuntshoek is dus altijd het middelpunt van de cirkel.
Vandaar de naam.

Belangrijke stelling:

De middelpuntshoek van een koorde is dubbel zo groot als de omtrekshoek ervan.

Voor het bewijs moet je drie verschillende gevallen bekijken. Neem een vaste boog AB van de cirkel. De plaats van punt P op de omtrek bepaalt dan aan welke kant van PA het middelpunt van de cirkel en punt B liggen.
Er zijn drie mogelijkheden:

geval 1: M ligt op PA

Dat is een eenvoudig geval.
Omdat MB en MP beiden gelijk zijn aan de straal r van de cirkel, is driehoek MPB gelijkbenig met top M. Dus zijn de basishoeken MPB en MBP gelijk.
Maar de middelpuntshoek BMA is de buitenhoek van driehoek PMB dus die is (volgens een eerdere stelling) gelijk aan de som van de overstaande binnenhoeken.
Kortom: ∠MBA = ∠MBP + ∠MPG = 2 • ∠MPB

q.e.d.

geval 2: M en B aan dezelfde kant van PA.

Als je nu lijn PMC trekt dan kun je aan beide kanten van PMC geval 1 toepassen.
Daaruit volgt dat ∠BMC = 2 • ∠BPM en ∠AMC = 2 • ∠APM
Dus samen geldt:
∠AMB = ∠AMC + ∠BMC = 2 • ∠APM + 2 • ∠BPM = 2 • ∠APB.

q.e.d.

geval 3. M en B aan weerszijden van PA.

Trek weer lijn PMC, want dan kun je geval 1 gebruiken.
Voor koorde AC geldt: ∠AMC = 2 • ∠APM (de groene hoeken hiernaast)

Voor koorde CB geldt: ∠CMB = 2 • ∠MPB
Ofwel: ∠CMB moet "tweemaal groen-blauw" zijn (want ∠MPB is "groen-blauw").
Dat is "2groen + 2blauw"
Maar ∠CMA was al "2 groen"
Dus blijft voor ∠AMB nog "2 blauw" over en dat is dus tweemaal ∠APB
q.e.d.

Daarmee is meteen het hierboven beloofde bewijs geleverd dat alle omtrekshoeken bij een koorde gelijk zijn. Ze zijn immers allemaal gelijk aan de helft van de middelpuntshoek van die boog?

De constante hoek.

De stelling van de omtrekshoek zegt, dat alle omtrekshoeken bij een bepaalde koorde gelijk zijn (immers de middelpuntshoek van die koorde ligt vast)
Dat mag je ook andersom gebruiken:

Alle punten P die met een lijnstuk AB dezelfde hoek bij P produceren liggen op een cirkel. Zie de figuur hiernaast.

Dus:

punten op cirkel ⇒ constante hoek
constante hoek ⇒ punten op cirkel

Geinig Gevolg: Hé! Daar heb je de sinusregel !!!

Neem een driehoek ABC en zijn omgeschreven cirkel.
Trek vanuit het middelpunt M van de cirkel een lijn loodrecht op één van de zijden en ook lijnen naar beide hoekpunten van die zijde, zoals hiernaast voor zijde BC is gedaan.

Dan zijn de driehoeken MSC en MSB congruent (ZZR, ga zelf maar na)
Als ∠SMC = α, dan is ∠CMB = 2α
maar dan zegt onze stelling dat ∠A = α (omtrekshoek van BC)

Verder is zijde BC gelijk aan a, dus SC = ¹/₂a

soscastoa in driehoek SMC geeft dan : sinα = ^0,5a/_R
Daaruit volgt ^a/_sinα= 2R

En dat geldt natuurlijk voor elke hoek van de driehoek.

COOL!

Nu weten we niet alleen dat ^a/_sinα = ^b/_sinβ = ^c/_sinγ, maar ook nog eens dat die alle drie gelijk zijn aan 2R waarbij R de straal van de omgeschreven cirkel is.

OPGAVEN

Hiernaast staan in een cirkel een groot aantal omtrekshoeken en middelpuntshoeken getekend.

Geef aan welke letters bij elkaar horen.

Olympiadevraagstuk.

Hiernaast staat een halve cirkel met middelpunt M.

Hoe groot is de hoek met het vraagteken?

45º

Bereken met behulp van de stellingen uit deze les hoe groot de hoek in de punten van de regelmatige vijfpuntige ster hiernaast is.

36º

Leid een formule af voor de hoek in een punt van een regelmatige n-puntige ster.

H = ¹⁸⁰/_n

Teken in een cirkel een driehoek ABC, zoals in de figuur hiernaast.
Toon aan dat de som van de hoeken B en C van deze driehoek de helft is van hoek BMC.

Gegeven zijn twee cirkels die elkaar snijden in de punten A en B. Lijn l gaat door het punt A en snijdt de cirkels verder in C en D.
Door lijn l om A te draaien verandert driehoek BCD.

Toon aan dat de grootte van ∠CBD onafhankelijk is van de stand van l.

Olympiadevraagstuk

In een cirkel met straal 8 kiest men willekeurig een punt P op de omtrek.
Lijn PA gaat door het middelpunt.
B is een ander punt op de omtrek.
PC staat loodrecht op BM
Het blijkt dat hoek PBM gelijk is aan 35º

Bereken de lengte van boog AC.

¹⁶/₉π

P is een willekeurig punt op een cirkel met middelpunt M.
MPQ is een gelijkbenige driehoek met Q binnen de cirkel en MP als basis.
MQ en PQ snijden cirkel in R en S.
Toon aan dat ∠QRS = 3 • ∠QSR

hint:

bekijk omtreks- en middelpuntshoek van boog PR

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012.

Gegeven is een driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel.
De bissectrice van hoek A snijdt de omgeschreven cirkel in punt P en de bissectrice van hoek B snijdt deze cirkel in punt Q. Het snijpunt van de bissectrices is S. Zie de bovenste figuur hiernaast.

Er geldt: driehoek CPQ is congruent met driehoek SPQ.

Bewijs dit.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010.

Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt.
Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is.
De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. In onderstaande figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R.

Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet.

Bewijs dit.

De baan van R die hoort bij de hierboven beschreven beweging van P, kan getekend worden met behulp van deze laatstgenoemde eigenschap.

Teken op deze manier in de figuur hierboven de baan van R. Geef de randpunten van de baan, waarbij driehoek ABP rechthoekig is, duidelijk aan. Licht je werkwijze toe.

10.

Op de omtrek van een cirkel worden vier punten A, B, C en D getekend zodat de de bogen AB en CD samen precies de helft van de cirkelomtrek zijn.

Toon aan dat de diagonalen van vierhoek ABCD dan loodrecht op elkaar staan

11.

De bissectrices van driehoek ABC snijden elkaar in S.
Lijn CS snijdt de omgeschreven cirkel van de driehoek in P

Toon aan dat driehoek SPB gelijkbenig is.

12.

ABCD is een parallellogram.
De omgeschreven cirkel van driehoek ABD snijdt diagonaal AC in punt P

Toon aan dat AB • BD = AC • BP