Er gaat iets mis!

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Dat primitiveren en die oppervlaktes uitrekenen liep lekker tot nu toe.
Inderdaad:  TOT NU TOE.
Laten we de oppervlakte onder de grafiek van  y = 12 - x2  tussen x = 0 en x = 6 even snel uitrekenen. Dat kan nooit moeilijk zijn. Daar gaat íe:
Hûh?

Dat lijkt me sterk.......

Nog maar een keer narekenen:
Ja. Helaas wéér nul.
Wat hebben we fout gedaan? Of klopt ons systeem van integreren dan tóch niet?

Hiernaast zie je wat er werkelijk aan de hand is.

De grafiek van deze functie loopt op dit interval voor een deel boven de x-as, maar ook voor een deel eronder. En dat deel eronder levert de problemen.
Bedenk dat er bij zo'n integraal eigenlijk staat:

En dat dat afkomstig was van allemaal rechthoekjes waarvan de breedte dx was en de hoogte y
Maar in de figuur hiernaast zie je dat dat voor het rode deel fout gaat, immers daar is y negatief, dus ook de lengte van zo'n rechthoekje, dus ook de oppervlakte.
Het groene deel geeft een positieve oppervlakte, het rode deel een  negatieve en kennelijk zijn die twee even groot zodat de totale oppervlakte nul wordt.

Wat kunnen we daaraan doen?

Nou de oplossing is heel simpel: we willen graag dat een oppervlakte altijd positief is, dus moeten we het tegengestelde van het rode deel nemen (dat is immers negatief?).
Splits de som daarom is twee delen: een groen deel en een rood deel.
de grens daartussen ligt bij x = √12 (het snijpunt met de x-as).
Het groene deel heeft oppervlakte:

Het rode deel heeft oppervlakte:

Nu ook positief.
De totale oppervlakte wordt dan beide delen samen:  16√12

Conclusie:

Stukken onder de x-as geven een negatieve oppervlakte,
dus daar moet een extra minteken voor.
Een tweede oplossing:  Met de GR natuurlijk!
Gewoon rechtstreeks de formule voor f(x) bij Y1 invullen en dan de integraal berekenen werkt niet, omdat ook dan de stukken onder de x-as negatief gerekend worden. Dat is echter eenvoudig op te lossen:  Maak die stukken positief!
Hoe maak je alle f(x) positief? Nou, door de absolute waarde natuurlijk.
Voer bij Y1 de formule abs(f(x)) in, en alle oppervlaktestukken worden positief gerekend:

Die 55,426... is inderdaad gelijk aan  16Ö12.
1. Bereken algebraïsch de oppervlakte van de vlakdelen, ingesloten door de grafiek van f en de x-as in de volgende gevallen:
       
a. f(x) = x3 - 10x2 + 16x  tussen x = 0 en x = 8  

1891/3
       
b. f(x) = 6 - √(4x + 8)  tussen x = 2 en x = 23

391/3
       
c. f(x) = x2 - x - 12  tussen x = -5 en x = 5

772/3
       
d.

37
   
2. Gegeven is de functie  f(x) = 27x3 - 108x2 .
We zijn geïnteresseerd in de oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as voor x tussen 0 en 5.
Bereken die oppervlakte algebraïsch.

8703/4
3. Gegeven is de functie f(x) = -2 + 4sin(πx/6), voor x tussen 1 en 25. Zie de grafiek hiernaast.
     
a. Bepaal de totale oppervlakte, ingesloten door de grafiek van f en de x-as
     
b. Hoeveel procent van deze totale oppervlakte bevindt zich onder de x-as? Bereken dit percentage zonder de snijpunten met de x-as uit te rekenen.
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)