© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De oppervlakte van een doorsnede.
       
Natuurlijk ga je dan eerst die doorsnede tekenen volgens de methodes die je in de vorige lessen hebt geleerd.
Daarna zou ik, altijd het volgende doen:
       
 

Teken de doorsnede plat
       
 

Bereken zoveel mogelijk lengtes (Pythagoras/gelijkvormigheid)

       
Nou, daar moet je het mee doen. Ik kan nog wel een paar tips geven die misschien handig werken bij dit soort problemen:
       
Tip1:  De oppervlakte van een willekeurige driehoek.
       
Neem een willekeurige driehoek waarvan je de zijden op de één of andere manier hebt uitgerekend.
Stel bijvoorbeeld dat de zijden gelijk zijn aan  10 en 13 en 15 zoals hiernaast.

Teken dan de hoogtelijn vanaf één van de drie hoeken, zoals hiernaast in de onderste figuur is gebeurd.
De hoogtelijn  met lengte h verdeelt de zijde ertegenover in stukken x en 13 - x
 

Schrijf Pythagoras nu twee keer op:
I:     x2 + h2  = 100
II:    (13 - x)2 + h2 = 225
Als je dat van elkaar aftrekt dan krijg je 
(13 - x)2 - x2 = 125
169 - 26x + x2 - x2 = 125
26x = 44
x = 44/26 ≈ 1,69
Dan is  h2 = 100 - x2 = 100 - (1,69)2 = 97,13
Dat geeft h = 9,86
De oppervlakte is dan  1/2 • 13 • 9,86 = 64,1

       
Tip 2:  Een willekeurige afstand tussen twee punten
       

       
Stel dat je in de kubus links om één of andere reden de afstand PQ wilt weten (kijk in opgave 3:  daar is dat nodig!)
Dan kun je zoals in de rechterfiguur ernaast is getekend een wandeling van P naar Q maken via de ribben van de kubus. Als je dan een kortste route kiest (rechts staat één mogelijkheid) dan kun je de lengte PQ berekenen door die afstanden te kwadrateren en dan daar de wortel van te nemen.

In dit voorbeeldgeval is de afstand gelijk aan  √(62 + 82 + 42 ) = √116
 
(Uitgebreidere uitleg hierover staat in deze les.)
       
Tip 3:  Lijnen evenwijdig aan een zijde van een driehoek.
       
Kijk eerst maar naar het erg eenvoudige voorbeeldje hiernaast. In driehoek ABC is NM de lijn die de middens van twee zijden verbindt. Zo'n lijn heet een middenparallel (het woord zegt het al:  door de middens van twee zijden, en evenwijdig aan de derde zijde)

De lengte van zo'n middenparallel is precies de helft van de zijde waaraan hij evenwijdig is. In het geval hiernaast is  NM dus gelijk aan 3,6.

Dat komt natuurlijk omdat driehoek ANM precies de helft is van  ABC (de hoeken zijn gelijk en AN is de helft van AB

       
We kunnen dat makkelijk uitbreiden naar andere evenwijdige lijnen in driehoeken. Hiernaast  is PQ evenwijdig aan BC. Dus zijn de driehoeken AQP en ABC gelijkvormig 
(F-hoeken).

Omdat AC = 5,5 en AP = 3,7 is driehoek AQP  3,7/5,5-ste deel van  ABC.
Dus is PQ ook  3,7/5,5 -ste deel van BC
Dus is PQ gelijk aan  3,7/5,5 • 7,2 ≈ 4,84

       
       
Voorbeeld.

In de balk hiernaast is doorsnede GPB getekend waarbij
P op CD ligt zodat  PC = 5.

Vlak V gaat door M en is evenwijdig aan GPB.
Bereken de oppervlakte van de doorsnede van V met de balk in één decimaal nauwkeurig.

Nou, eerst die doorsnede maar eens construeren.
Teken MQ evenwijdig aan GP  (beiden in het achtervlak)
Teken QR evenwijdig aan PB (beiden in het grondvlak)
Teken RS evenwijdig aan GP  )voorvlak evenwijdig aan achtervlak)
De doorsnede is dan vierhoek MQRS

Eerst maar eens de lengtes berekenen met Pythagoras.
MQ = SR = √(52 + 62) = √61
MS = QR  = √(52 + 42) = √41

Is MQRS een rechthoek?  Tja........

MR2 = 42 + 62 = 52
Omdat MR2 niet gelijk is aan  MS2 + SR2  geldt Pythagoras NIET en is de hoek MSR dus geen 90º.

       
De doorsnede ziet er (ongeveer) uit als hiernaast.

x2 + h2 = (√41)2
(√61 - x)2 + h2 = (√52)2
Trek deze van elkaar af:   (√61 - x)2 - x2 = 11
61 - 2x√61 + x2 - x2 = 11
2x√61 = 50
x = 50/2√61 ≈  3,20
Dan is  h ≈ 5,55.

De oppervlakte is dan   5,55 • √61 ≈ 43,3.

       
       
  OPGAVEN
       
1. Balk ABCD.EFGH met AB = 6, BC = 4 en AE = 4 wordt doorsneden door een vlak dat door M gaat en dat evenwijdig is aan AHC.
M is het midden van AE.

Bereken de oppervlakte van de doorsnede.

     

6√22
2. In regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD is  AB = BC = 4 en  TA = 10
E, F en M zijn middens van ribben.

Vlak V is evenwijdig aan vlak ABFE en gaat door M.

Bereken de oppervlakte van de doorsnede van V met de piramide.

     

3√2
       
3. Bereken in de kubus hiernaast de oppervlakte van de doorsnede van vlak PQA met de kubus.

Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

     

76,2
4. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-I
       
 

Gegeven is het prisma ABC.DEF.
Hierbij is ABC een gelijkbenige driehoek met basis AB = 6 cm en bijbehorende hoogte 8 cm. Bovendien geldt AD = 9 cm.

De punten P en Q liggen op de ribbe AD zodanig dat AP = PQ = QD = 3 cm. De punten R en S liggen op de ribbe BE zodanig dat BS = SR = RE = 3 cm. Deze opgave gaat over het lichaam PSC.QRF.

Zie de figuur.
       
 

       
  Lichaam PSC.QRF wordt op een hoogte van 2 cm doorsneden met een vlak dat evenwijdig is met het vlak PQRS.
       
  Teken deze doorsnede op ware grootte. Licht je werkwijze toe.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)