periode parameterkromme


Periodeperikelen....	© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

We zijn er intussen, denk ik, al aardig aan gewend dat je een parameterkromme kunt zien als een route die een punt P aflegt: x en y zijn de coördinaten van P, t is de tijd.
Nou zijn er bij de parameterkrommen veel periodieke functies van x en y. Het wemelt er van de sinussen en de cosinussen.
Dat betekent dat punt P vaak ook een periodieke beweging vertoont; ofwel: steeds maar weer hetzelfde parcours aflegt.

Nieuwsgierige en vooral leergierige studenten stellen dan eigenlijk meteen één van de volgende vragen.

Dit lijkt vier keer dezelfde vraag, maar dat is niet zó! Eén van de vier vragen is fundamenteel anders dan de andere drie. Zie jij welke?

Periode van de beweging.

Als je niet meer weet wat een gemeenschappelijke periode is, moet je eerst deze les weer doornemen
De periode van de beweging van punt P is namelijk gelijk aan de gemeenschappelijke periode van de functies x(t) en y(t).
Immers na de gemeenschappelijke periode gaat x(t) zich herhalen, en y(t) óók. En als beiden precies hetzelfde gaan doen, dan gaat hun gemeenschappelijke grafiek dat natuurlijk ook!

De periode van de beweging van punt P is de gemeenschappelijke periode van x(t) en y(t)

Eén keer doorlopen.

Hierbij gaat het erom: Welke t-waarden moet je kiezen zodat de kromme precies één keer door punt P wordt doorlopen?
Als eerste opwelling zul je misschien zeggen: "Nou, dat is natuurlijk hetzelfde als de periode van P, immers na één periode wordt de kromme doorlopen". Maar toch klopt dat niet helemaal.
Het klopt inderdaad wél dat punt P na de gemeenschappelijke periode zijn beweging gaat herhalen, daar was niets fout aan beredeneerd. Maar..... het zou kunnen dat P bijvoorbeeld binnen één gemeenschappelijke periode de kromme al vaker doorloopt!!!!
Weliswaar niet in precies dezelfde volgorde, maar wel vaker langs elk punt.

Neem de parameterkromme:

De periode van x(t) is 2π, en de periode van y(t) is π, dus de gemeenschappelijke periode is 2π.
Maar dat betekent niet dat de kromme tussen t = 0 en t = 2π ook precies één keer wordt doorlopen. In de figuur linksonder zijn een aantal waarden van t bij de kromme gezet (de blauwe getallen). In de figuur midden onder is de kromme "slordig"getekend, en daarin zie je goed dat de kromme tussen t = 0 en t = 2π TWEE keer wordt doorlopen.

In de figuur rechtsonder zie je dat je bijvoorbeeld kunt kiezen ¹/₄π ≤ t < 1¹/₄π als je wilt dat de kromme precies één keer wordt doorlopen (Waarom zou je dat willen? Nou, later gaan we van zulke krommen de lengte uitrekenen of oppervlakten bij zo'n kromme, en daarvoor is het wel belangrijk natuurlijk dat je die lengtes of oppervlaktes maar één keer meetelt).

Redeneren met de periodes van x en y.

Soms kun je aan de vorm van de kromme al heel eenvoudig iets zeggen over de periodes van de functies x(t) en y(t), zonder berekeningen te maken.

Neem de parameterkromme hiernaast, waarvan de vergelijkingen (voorlopig) onbekend zijn.
Toch valt er wel iets over de perioden van x(t) en y(t) te zeggen. Volg de kromme eens, en zet elke keer een dikke rode stip neer als x(t) een maximum bereikt, en een dikke blauwe stip als y(t) een maximum bereikt. Dat is hiernaast gebeurd.

Tijdens een hele rondgang zie je dat x twee keer een maximum bereikt en y drie keer. Dus tijdens een hele periode zal de x(t) grafiek 2 periodes hebben en de y(t) grafiek 3. Dat betekent dat de periodes van x(t) en y(t) zich verhouden als 3 : 2.
(als het aantal periodes op een bepaald tijdsinterval verhouding 2 : 3 heeft, dan hebben de lengtes van die periodes verhouding 3 : 2)

Bedenk dat je alleen de verhouding weet, immers de gemeenschappelijke periode is nog niet bekend.

De kromme zou bijvoorbeeld bij één van de volgende stelsels vergelijkingen kunnen horen:

OPGAVEN

Hieronder zie je vier keer een kromme geschetst met de bijbehorende bewegingsvergelijkingen eronder. Bepaal voor elk van die krommen de waarde van de constante a in die vergelijkingen.

Leg uit waarom de kromme met vergelijkingen x(t) = sin(2t) en y(t) = sin(πt) geen periodieke kromme is, alhoewel de beide functies apart wél periodiek zijn.

De kromme met bewegingsvergelijkingen
x(t) = sin(4t) + sin(6t) en y(t) = cos(2t) staat hiernaast getekend.

Uit deze kromme kun je beredeneren hoeveel maxima en minima de grafiek van f(x) = sin(4x) + sin(6x) heeft op interval [0, 2π]

Geef dat aantal met een bijbehorende redenering.

Voor welke waarden van t worden de krommen, die gegeven zijn door onderstaande bewegingsvergelijkingen, precies één keer doorlopen?

x(t) = sin 4(t + ¹/₈π) en y(t) = 3cos(2t)

[0, ¹/₂π]

x(t) = 5cost en y(t) = 1 + cos(4t)

[0, π]

x(t) = 2sin(t) en y(t) = sin(2t - ¹/₂π)

[-¹/₂π, ¹/₂π]