© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Parameters in functievoorschriften

 
Een parameter is een letter die in een formule staat, maar die eigenlijk een constante voorstelt. De maker van de opgave wil deze constante alleen nog niet verraden. Een parameter is dus wat anders dan een variabele. Een variabele is x of  y : een letter die allerlei mogelijke waarden aanneemt, en voor elk van die waarden krijg je een punt van de grafiek. Een variabele kun je uitzetten op de x-as of de y-as.
Een parameter heeft dus maar één constante waarde, alleen we kennen hem nog niet.

Wat zijn de gevolgen voor de grafiek?
Als je een functievoorschrift hebt met een parameter erin, dan heb je een probleem!
Je kunt geen punten (x, y) tekenen, geen formule in je GR invoeren, NIETS!

Nou ja.....

Het enige dat je kunt doen is het volgende.
Vervang de parameter door een getal. Kies maar wat! Dan heb je een formule over zonder parameter en die kun je tekenen/plotten. Kies daarna een ander getal en teken/plot weer de grafiek. Zo kun je een poosje doorgaan en dan krijg je een verzameling van een heleboel grafieken. Dat heet een grafiekenbundel.  Bij een functievoorschrift met een parameter hoort dus nooit één grafiek maar altijd een grafiekenbundel.
Tijd voor een voorbeeld, denk ik.
Gegeven is de functie  f(x) = 1 + px2 .
Neem p = 1 dan staat er y = 1 + x2 en dat kun je tekenen
Neem p = 2 dan staat er y = 1 + 2x2 en dat kun je tekenen
Neem p = 4 dan staat er y = 1 + 4x2 en dat kun je tekenen
Neem p = 8 dan staat er y = 1 + 8x2 en dat kun je tekenen

Het resultaat staat hiernaast.

De parameter wordt meestal in het functievoorschrift gegeven. De functies hierboven zou je kunnen omschrijven als  fp(x) = 1 + px2  met  p = 1, 2, 4, 8
Dat betekent dat als we het later hebben over f3(x) dat er wordt bedoeld  p = 3, dus f3(x) = 1 + 3x2 

TIP: in je TI-83 kun je deze grafiekenbundel in één keer invoeren als  Y1 = 1 + {1,2,4,8}X^2  (gebruik accolades en de dikke komma boven 7)

1. a. Gegeven zijn de functies  fp(x) = 1 + p/x. 
Teken een grafiekenbundel voor p =  1, 2, 3, 4.
Leg uit wat de invloed van p op de grafiek is.
     
b. Gegeven zijn de functies  fa(x) = x2 + ax. 
Teken een grafiekenbundel voor a =  -2, -1, 0, 1, 2.
Leg uit wat de invloed van a op de grafiek is.
Twee aparte vragen bij een functievoorschrift met een parameter
VRAAG 1.
Hiernaast zie je een grafiekenbundel van  y = x2 + px
Bereken welke p-waarde hoort bij de rode grafiek.

oplossing.
Kies een willekeurig punt van deze grafiek bijv.  (1,3)
Dat ligt op de grafiek dus moet het kloppen met het functievoorschrift.
Invullen van x = 1 en y = 3 geeft  3 = 12 + p • 1
Dus 3 = 1 + p  ofwel  p = 2.
Dus bij de rode grafiek hoort p = 2.

VRAAG 2.
De grafieken van y =  p + p/(x - 4) gaan allemaal door hetzelfde punt.
Toon aan dat dat zo is.

oplossing
Eerst maar eens een grafiekenbundel  plotten om te onderzoeken welk punt dat is (hiernaast voor p = 1, 2, 3, 4)
De figuur doet vermoeden dat het gaat om het punt (3,0).
Dat betekent dat als we x = 3 nemen er altijd y = 0 uitkomt, wat p ook is.

Vul daarom x = 3 in:  y = p + p/(3 - 4) = p + p/-1 = p - p = 0
Dat is inderdaad altijd nul, onafhankelijk van p.

 
  OPGAVEN
pp
2. Hiernaast staat een grafiekenbundel van de functies
fp(x) = 3 - p/x2 

     
a. Bereken welke p bij de rode grafiek hoort.
   

p = 2
  b. Welk van de grafieken zal door  (4, 2) gaan?
 

p = 16
c. Voor welke p-waarden heeft de grafiek van fp snijpunten met de x-as?
   

p > 0
   
3. Hiernaast staat een grafiekenbundel van de functies
 fp(x) =  (3/4x2 - 1/4x3)p   tussen  x = 0 en x = 3.
a. Onderzoek welke p bij de rode grafiek hoort.

p = 2
Alle grafieken lijken door de punten (0,0) en (2, 1) en (3,0) te gaan.
b. Toon aan dat dat inderdaad zo is.
4. Gegeven zijn de functies  fp(x) = 4px + p/(x - 1)
Hiernaast is een aantal van deze functies getekend.

     
a. Bepaal zo goed mogelijk welke p bij de rode grafiek hoort.
   

p = 3
b. Leg uit waarom al deze grafieken dezelfde verticale asymptoot hebben
     
  c. Alle grafieken lijken door hetzelfde punt te gaan.
Toon aan dat dat inderdaad zo is.
   
       
5. Hiernaast zie je een grafiekenbundel die aangeeft hoeveel kostenbesparing (Bn) het isoleren van je huis oplevert. Op de x-as staat de dikte van de isolatielaag in cm, op de y-as staat de kostenbesparing in honderden euro's. De parameter n geeft aan over hoeveel jaar deze besparing berekend is.

De blauwe rechte lijn K(d) geeft de kosten van het isoleren aan. Die kosten zijn éénmalig, maar hangen dus wél van de isolatiedikte af.

     
  a. Hoe kun je aan de vorm van de grafieken zien dat het onverstandig is om de isolatielaag erg dik te maken?
       
  b. Wat is de betekenis van het snijpunt van de grafieken met de y-as?
       
  De formules die bij  K en Bn horen zijn:   K(d) = 2 + 0,8d  en   Bn(d) =  4n/(2d + 1)
       
  c. Bepaal de ontbrekende waarde van n uit de figuur.
     

n = 6
  d. Maak een nieuwe grafiekenbundel die aangeeft hoe groot de totale kosten Tn(d) zijn.
Doe dat voor n = 2, 4, 6, 8 en 10
       
  e. Bepaal met deze bundel voor welke dikte je het best kunt kiezen, als je de totale kosten voor 4 jaar zo laag mogelijk wilt krijgen.
     

2,66 cm
       
6. Gegeven zijn de functies fp door:
fp(x) =  2x + p/(2x - 4)
     
  a. In de grafiek hiernaast staan drie grafieken van fp voor verschillende waarden van p. Leg duidelijk uit welke p waarde bij welke grafiek hoort.
     
  b. Leg uit waarom alle grafieken van fp dezelfde verticale asymptoot hebben.
     
  c. Het lijkt erop alsof de grafieken van alle fp voor grote en kleine x-waarden langs een rechte lijn gaan lopen. Leg met de formule van fp uit waarom dat zo is.
     
  d. Geef het bereik van f2(x)
       
7. Gegeven zijn de functies:   fp(x) = (4 - px)/(x - 4)

     
  a. Hiernaast staat één van de fp grafieken getekend. Bereken welke p bij deze grafiek hoort.
     
  b. Leg duidelijk uit waarom alle fp-grafieken door hetzelfde punt gaan.
       
8. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2000.

Als je een huis koopt,  moet je meer betalen dan alleen de koopsom. Je moet bijvoorbeeld belasting betalen en de kosten van de notaris. Deze bijkomende kosten zijn voor een nieuwbouwhuis ongeveer 6% van de koopsom en voor een bestaande woning ongeveer 12%

Iemand heeft een bestaande woning gekocht.
De koopsom en de bijkomende kosten hebben haar in totaal 300000 gulden gekost.
       
  a. Bereken de koopsom.
       
  De meeste mensen die een huis willen kopen lenen daarvoor geld bij de bank. Zo'n lening wordt een hypotheek genoemd. Het hoogste bedrag dat iemand kan lenen heet de haalbare hypotheek. Deze hangt af van het jaarinkomen van de persoon die de hypotheek aanvraagt. Verder hangt deze ook af van de rente die over de hypotheek betaald moet worden.

In een brochure over hypotheken van bank X zijn onderstaande grafieken opgenomen.
       
 

       
  H: haalbare hypotheek (×1000 gulden)
I: jaarinkomen  (×1000 gulden)
R: rentepercentage.

Iemand heeft een jaarinkomen van 50 000 gulden. Hij wil een huis kopen. Daarvoor heeft hij 220 000 gulden nodig. Hij wil dat hele bedrag lenen. De rente is 5%.
       
  b. Onderzoek met behulp van de figuur hierboven of de hypotheek die hij kan krijgen voldoende is om dit huis te kopen.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)