De Poissonverdeling.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
De Poissonverdeling is eigenlijk een waardeloze verdeling!

Zo. Dat is een mooi didactisch verantwoord begin van een les......

Maar ja, het is nou eenmaal niet anders. Bij een Poissonverdeling zijn er gewoon niet zoveel dingen bekend.
Je gebruikt een Poissonverdeling in het volgende geval:
 

"Dingen" gebeuren
met een bekend gemiddelde,
en onafhankelijk van elkaar.
 
Kijk, bij een binomiale verdeling weet je veel meer: je weet om hoeveel experimenten het gaat (n) en wat de kans per keer is (p) en dan kun je de kans op k successen berekenen.
Het gemiddelde weet je bij de binomiale verdeling natuurlijk ook:  dat is  n · p.
De Poissonverdeling is eigenlijk een uitgeklede binomiale verdeling. Je kunt hem er zelfs uit afleiden. Dat gaat zó:
       
Laten we beginnen met een voorbeeldje, waarbij er alleen een gemiddelde bekend is.

Stel dat we bekijken hoeveel kasten een antiekhandelaar per week verkoopt.  Stel dat hij een week 6 dagen van 6 uur werkt, en dat hij weet dat hij gemiddeld per week 4 kasten verkoopt.
Hoe groot is dan de kans dat hij in één bepaalde week precies 2 kasten verkoopt?


Laten we het aantal kasten dat hij per dag verkoopt binomiaal bekijken. Ik verdeel de week dus in 6 gelijke stukken van een dag, en beschouw elke dag als een experiment.
Dan is n = 6 en omdat het gemiddeld aantal kasten per week 4 is, is  6 • p = 4  dus  p = 2/3
De kans dat hij 2 kasten verkoopt in zes dagen is dan   binompdf(6, 2/3, 2) = 0,0823

Laten we nu het aantal kasten dat hij per uur verkoopt binomiaal bekijken. Ik verdeel een week dan in 36 gelijke stukken van een uur en beschouw elk uur als een experiment. Dan is n = 36 en dan is  36 • p = 4 dus  p = 4/36
De kans dat hij dan 2 kasten verkoopt bij deze 36 experimenten is  binompdf(36, 4/36, 2) = 0,1418

Laten we nu het aantal kasten dat hij per kwartier verkoopt binomiaal bekijken. Ik verdeel een week dan in 144 gelijke stukken van een kwartier. Dan is n = 144  en dan is  144 • p = 4 dus  p =  4/144
De kans dat hij dan 2 kasten verkoopt bij deze 144 experimenten is binomdf(144, 4/144, 2) = 0,1455

Laten we nu het aantal kasten dat hij per minuut verkoopt binomiaal bekijken. Ik verdeel een week dan in 2160 gelijke stukken van een minuut en beschouw elke minuut als een experiment. Dan is n = 2160  en dan is  210 • p = 4 dus p = 4/2160.
De kans dat hij dan 2 kasten verkoopt bij deze 2160 experimenten is binompdf (2160,  4/2160, 2) = 0,1465

En zo kan ik steeds kleinere tijdseenheden nemen......

De kansen die er uitkomen lopen naar een bepaalde limietwaarde, en dat is de kans die de Poissonverdeling berekent.

Noem het gemiddelde (in dat geval 4) gelijk aan m en het gevraagde aantal successen (in dit geval 2) gelijk aan k, dan geldt:
       

       
Dat is met k = 2 en m = 4 gelijk aan   42/2! • e-4 = 0,146525111...
Het voordeel is dat je bij dit bovenstaande verhaal nergens n of p nodig hebt voor de berekening van deze uiteindelijke kans. Alleen n • p is voldoende......

De afleiding van deze prachtige formule staat in de verdieping hiernaast.
     
Waar kun je 'm voor gebruiken?
       
Er moeten wel een paar voorwaarden zijn om de Poissonverdeling te mogen gebruiken. Op de eerste plaats moet het gaan om discrete gebeurtenissen ("successen" net als bij de binomiale verdeling).
Verder moet het ook mogelijk zijn om hele kleine tijdsintervallen te nemen. Je moet n heel groot kunnen laten worden (en dus p heel klein zodat n • p  constant blijft).
Als het verkopen van een kast in het voorbeeld hierboven bijvoorbeeld een uur zou kosten, dan kun je moeilijk gaan onderverdelen in minuten, want in 2 opvolgende minuten kun je dan nooit beide een kast verkopen. Verschillende minuten in de buurt van elkaar zijn dan niet onafhankelijke experimenten meer, en dat is wel nodig voor de binomiale verdeling.  

Voorbeeld 1.
Je hebt een radioactief materiaal waarvan je weet dat er gemiddeld 3 kernen per minuut vervallen. Hoe groot is dan de kans dat er 6 kernen in een minuut vervallen?
oplossing :  m = 3 (per minuut), dus de Poissonverdeling geeft  P(6) = 36/6! • e-3 = 0,0504

Voorbeeld 2.
Op een autoweg komen er gemiddeld 10 auto's per minuut langs. Hoe groot is de kans dat er in een minuut  15 auto's langskomen?
oplossing:  m = 10 (per minuut), dus de Poissonverdeling geeft  P(15) = 1015/15! •  e-10 = 0,0347

N.B.  Wat in de tijd geldt, kan ook in de ruimte gelden natuurlijk, kijk maar:

Voorbeeld 3.
Een automobilist weet dat hij langs een bepaalde snelweg gemiddeld 4 dode dieren zal zien per 5 kilometer
Hoe groot is de kans dat hij op één kilometer 2 dieren zal zien?
oplossing:  m =  4/5 = 0,8 (per km),  dus de Poissonverdeling geeft  P(2) = 0,82 /2!  e-0,8 = 0,1437

andere tijdsintervallen.
       
Voor het aantal successen op interval [0, t]  vervang je gewoon  m door  tm:
       

       
Om bijvoorbeeld in bovenstaand  "kasten" voorbeeld  (met gemiddeld 4 kasten in een week) te berekenen hoe groot de kans is dat je 20 kasten in een maand verkoopt,  neem je tm = 4 • 4 = 16, en dat geeft  P(x = 20) = 1620/20! • e-16 = 0,0559
       
met de GR.
       
Het kan ook direct met je GR:   2nd - DISTR - D : poissonpdf geeft  met λ = m = 4 en  x value = 2  de kans  0,1465... precies zoals in het oorspronkelijke voorbeeld bovenaan.

En voor 20 kasten in een maand doe je  poissonpdf(16, 20) = 0,0559...

En net zoals bij de binomiale verdeling is er ook een cumulatieve poissonverdeling met de knop poissoncdf.
Als het gemiddelde in een periode gelijk is aan 5 en je wilt bijvoorbeeld de kans op minstens 8 successen weten, dan bereken je  P(X  ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7) = 1 - poissoncdf(5, 7) = 0,1334
       
       
  OPGAVEN
       
1. Ik krijg per dag gemiddeld (dat heb ik lange tijd bijgehouden) 8 telefoontjes.
Hoeveel dagen per jaar zal ik dan naar verwachting precies 12 telefoontjes krijgen?
     

17 á 18
2. In een bepaald gebied zijn gemiddeld 5 blikseminslagen per jaar.
Bereken de kans dat er in een jaar minder dan 3 blikseminslagen zijn.
     

0,1246
3. Een student Nederlands is er trots op dat hij vrij goed zonder spelfouten kan schrijven. Hij blijkt gemiddeld slechts 1 spelfout per 8 bladzijden tekst te maken.
Hoe groot is dan de kans dat een bladzijde precies 1 spelfout bevat?
     

0,1103
4. Een Nederlands echtpaar heeft nog gemiddeld slechts 8 keer per jaar seks met elkaar.
Hoe groot is de kans dat ze deze maand precies 2 keer seks met elkaar zullen hebben?
     

0,1141
5. De volgende tabel geeft het aantal hartinfarcten dat per maand in een bejaardentehuis plaatsvindt:
       
 
aantal infarcten aantal keer
0
1
2
3
4
5
6
>6		 4
11
13
10
7
3
2
0
       
  Onderzoek of dit aantal infarcten een Poissonverdeling volgt.
       
6. De klantenbalie van een bouwmarkt is 8 uur per dag open (van 9:00 tot 17:00) en er komen gemiddeld  per dag 25 mensen bij de balie.
Hoe groot is de kans dat er op een dag na  15:00  nog meer dan 8 mensen langskomen?
     

0,1796
7. In een kartonnagefabriek treden regelmatig storingen op omdat het karton vastloopt in de machine. De bedrijfsleider heeft bijgehouden dat er gemiddeld 3 storingen per uur optreden.
Hoe groot is dan de kans dat er over een hele dag (8 uur) minder dan 15 storingen optreden?
     

0,0198
8. a. Een leraar van een middelbare school geeft gemiddeld per week 3 leerlingen strafwerk.
Hoe groot is de kans dat hij in een maand dan minstens 10 leerlingen strafwerk geeft?
     

0,7576
  b. Een collega berekent dat de kans dat zij minstens 12 keer in een maand strafwerk geeft gelijk is aan  30%.
Hoeveel leerlingen geeft zij dan gemiddeld per week strafwerk?
     

2,5
9. In Noord-Oost Groningen vinden de laatste jaren regelmatig aardbevingen plaats ten gevolge van de aardgaswinning.
Het gemiddelde aantal aardbevingen is 2 per maand.
Hoe goot is de kans dat er binnen één week dan meer dan 1 aardbeving plaatsvindt?
     

0,0902
10. In een  bepaalde erg beruchte klas op een middelbare school worden de leerlingen er erg vaak uitgestuurd, namelijk gemiddelde met z'n allen 24 keer per maand!
De klas bestaat uit 28 leerlingen en ze hebben 80 lessen in de maand.
Neem aan dat iedereen iedere les aanwezig is, en dat je per les per persoon hoogstens één keer eruit gestuurd kunt worden.
       
  a. Hoe groot is de kans dat er in een bepaalde maand zelfs 30 keer iemand uitgestuurd wordt?
Bereken deze kans op twee manieren:  met de poissonverdeling en met de binomiale verdeling.
       
  Marenthe is de ergste uit de klas. De kans dat zij er in een maand minstens 5 keer uitgestuurd wordt is 80%
       
  b. Bereken het gemiddeld aantal keren dat Marenthe eruit gestuurd wordt.
Bereken dit gemiddelde op twee manieren:  met de poissonverdeling en met de binomiale verdeling.
       
       
De Standaarddeviatie.
       
Als je de Poissonverdeling als grensgeval van de binomiale verdeling afleidt, dan kun je de standaarddeviatie van de Poissonverdeling natuurlijk vast ook wel van de standaardafwijking van de binomiale verdeling afleiden.

Voor de binomiale verdeling gold  σ = √(n • p • (1 - p))
De Poissonverdeling  nam m = n • p constant en liet n steeds groter worden, en p steeds kleiner. Dus p gaat naar nul, en n naar oneindig (np = m constant).  Maar als p naar nul gaat, dan gaat (1 - p)  naar 1.
Dan staat er  σ = √(n • p • 1) = √m
       

σ = √m
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)