projectielbanen


Projectielbanen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hiernaast zie je een golfer die vanaf de oorsprong van een assenstelsel een golfbal wegslaat met een snelheid v₀.

De vraag is: "Wat is de vergelijking van de baan van de bal?"

Er zit hier een natuurkundig principe achter en dat is:

"Je mag de bewegingen in verticale en in horizontale richtingen apart bekijken".

Die bewegingen beïnvloeden elkaar niet. Maar ze zijn wel totaal verschillend, en dat komt natuurlijk door de zwaartekracht.

Horizontaal.

De beginsnelheid in horizontale richting is gelijk aan v₀ • cosα. En dat blijft de hele tijd zo!!!! (we verwaarlozen de luchtwrijving). Voor de afgelegde afstand x geldt bij constante snelheid: x(t) = v_x • t =   v₀cosα • t

Verticaal.

De beginsnelheid in verticale richting is gelijk aan v₀ • sinα. Maar die verandert door de zwaartekrachtsversnelling.
De zwaartekrachtsversnelling is gelijk aan g = -9,8 ^m/_s2   (het minteken geeft aan dat de zwaartekrachtsversnelling de snelheid in positieve verticale richting tegenwerkt.
Voor de afgelegde afstand in verticale richting geldt dan   y(t) = v₀sinα.• t - ¹/₂gt²

Gecombineerd.

Deze twee vergelijkingen zijn makkelijk te combineren. Maak gewoon van de eerste t = .... en vul dat in in de tweede.

Die kun je nog iets mooier schrijven als je je bedenkt dat sin²α + cos²α = 1, kijk maar:

Daar staat een parabool, immers je kunt dit lezen als y = bx + ax² .

Nog een paar interessante vragen te beantwoorden:

Vraag 1. Hoe hoog komt de bal?

Nou, dat is gewoon de top van die parabool.
Je kunt dan je kennis van parabolen goed gebruiken: de top ligt bij x_TOP = ^-b/_2a en dan die x_TOP invullen in de vergelijking van de parabool geeft y_TOP.Kijk maar:

Vraag 2: Onder welke hoek moet ik de bal wegslaan zodat hij zo hoog mogelijk komt?

Een beetje een domme vraag eigenlijk: dan moet je hem natuurlijk recht omhoog slaan!!!!

Betere vraag 3. Hoe ver komt de bal?

De bal komt weer op de grond als y = 0. Maar omdat hij werd weggeslagen vanaf de oorsprong, zal dat dubbel zo ver als de plaats van de top zijn (een parabool is nogal symmetrisch, weet je?), dus voor die afstand A geldt:
A = 2 • x_TOP, ofwel:

Vraag 4: Onder welke hoek moet ik de bal wegslaan zodat hij zo vér mogelijk komt?

Dat betekent dat de A hierboven maximaal moet zijn.
Stel tanα = x, dan staat er in de formule hierboven eigenlijk:
A = c • ^x/_{(1 + x}2₎   (waarbij die c = ^2v0^²/_g)

Hiernaast zie je de grafiek van y = ^x/_{(1 +
x}2₎
Die heeft de top bij x = 1 en   y = ¹/₂.
(reken dat zelf maar na met de quotiëntregel)

Dat betekent dat A maximaal is als tanα = 1, ofwel: je moet de bal onder een hoek van 45º wegslaan.
De maximale afstand is dan   A = ^2v0^²/_g• ¹/₂ = ^v0^²/_g

Sla de bal onder een hoek van 45º weg.
Dan wordt de horizontale afstand ^v0^²/_g

OPGAVEN

Neem voor alle opgaven aan dat g = 9,8 ^m/_s2

Een scherpschutter wil een blikje raken dat zich op 200 meter afstand van hem bevindt. Neem aan dat het blikje op dezelfde hoogte als het eind van de loop staat. Zie de schets hieronder.

Het geweer schiet de kogel weg met een snelheid van 100 ^m/_s.
Onder welke hoek α moet de schutter zijn geweer houden om het blikje precies te raken?

17,5º of 72,5º

Een kanon staat op een hellend vlak met een hellingshoek van 10º.
Het kanon vuurt een kogel af met een beginsnelheid van 120 ^m/_s onder een hoek van 30º. Zie de figuur.
De loop van het kanon bevindt zich 1 meter boven de grond.

Op welke horizontale afstand A vanaf de loop van het kanon komt de kogel op het hellende vlak terecht?

888 m

Een golfer weet dat hij zijn golfbal met een snelheid van 230 ^km/_uur wegslaat.
Onder welke hoek moet hij de bal dan wegslaan als de bal 150 meter verderop in het gras moet belanden? (neem aan dat de bodem vlak en horizontaal is)

23,3º of 66,7º

Zijn vrouw slaat de bal weg onder een hoek van 40º. Hoe hard moet zij slaan als de bal 150 meter verderop in het gras moet belanden? (neem aan dat de bodem vlak en horizontaal is)

139 km/uur

Een basketballer mag een vrije worp nemen.
De ring hangt op 3,05 meter hoog, en het midden van de ring bevindt zich 4,60 meter van de plaats waar hij de bal loslaat. Hij laat de bal los op een hoogte van 2,10 meter. De situatie is als hieronder geschetst

Beschouw de bal als een punt zonder afmetingen.
De basketballer gooit de bal onder een hoek van 60º graden weg, en de bal blijkt precies door het midden van de ring te gaan. Bereken hoe hoog het hoogste punt van de baan van de bal dan ligt.

4,40 m

In een grote loods staat een ballenkanon, dat tennisballen met een snelheid van 100 km/uur vanaf een hoogte van 1,5 meter wegschiet. De hoek waaronder de ballen worden weggeschoten is instelbaar (neem aan dat de beginhoogte voor elke hoek 1,5 is) . De afmetingen van een bal mag je verwaarlozen.
De loods is 4 meter hoog. Neem aan dat de loods oneindig lang is.

Onder welke hoek moeten de ballen worden weggeschoten zodat ze zo ver mogelijk komen?

9,2º