© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 35.
       

Als in een cirkel twee lijnen AB en CD elkaar snijden in S, dan is
AS • SB = CS • SD
       
Euclides zei het natuurlijk niet op deze algebraïsche wijze, maar hij zei "de rechthoek van de segmenten van de ene lijn is even groot is als de rechthoek van de segmenten van de andere lijn".
       
Voor lijnen die elkaar in het middelpunt snijden is dat evident:  Alle stukken AS, BS, CS en DS zijn gelijk aan de straal van de cirkel.
       
Teken MP en MQ loodrecht op AB en CD, dan delen die AB en CD doormidden  (III-3)
Teken ook MS, MB en MC.

Lijn AB wordt nu in P doormidden gedeeld en in S in twee ongelijke delen. Dan is:
(rechthoek AS • SB)  + (vierkant PS • PS) = (vierkant PB • PB)  (II-5)
Tel daar het vierkant MP • MP bij op: 
AS • SB + MP • MP + PS • PS = PB • PB
maar MP2 + PS2 = MS2   (Pythagoras)  (I-47)
dus  AS • SB + MS2 = PB2 + MP2
Maar daar rechts staat MB2 (Pythagoras)  (I-47)
Dus  AS • SB + MS2 = MB2

Op dezelfde manier bij lijn CD:   CS • SD + MS2 = MC2

       
MC = MB (straal cirkel) dus die twee zijn gelijk:  AS • SB + MS2 = CS • SD + MS2
Trek er weer MS2 van af en je hebt de gezochte vergelijking.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)