© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek II, propositie 5.
       

Verdeel een lijnstuk AB door punt M in twee gelijke delen
en door punt P in twee ongelijke delen.
Dan is de rechthoek van AP bij PB plus het vierkant op MP
gelijk aan het vierkant op MB
       
Met de tekening hiernaast is het vast wat duidelijker:

"gele rechthoek + groen vierkant = rood vierkant"

 
       
Teken het vierkant op MB  (I-46)
Teken BC en verleng PF // AG  tot PD  (I-31)
Verleng GF // AB  tot  GE  (I-31)



 
       
De blauwen zijn gelijk,   (I-43)
dus de rechthoeken blauw + paars zijn gelijk (tel bij beide blauwen paars op)
(in letters:   MBEI = DPBH)

Maar blauw + paars is ook gelijk aan de gearceerde rechthoek (want M was het midden van AB)  (I-36)

Tel bij blauw + paars nog eens blauw op
Dat geeft dat APFG = blauw + paars + blauw = MBHC - CDFI

Maar CDFI is het groene vierkant.

Tel bij beiden het groene vierkant op:

APFG + CDFI = MBHC
"gele rechthoek + groen vierkant = rood vierkant"
       
 
       
De drie delen blauw + blauw + paars van het vierkant MBHC noemde Euclides samen een `gnomon`.
       
Algebraïsch staat hier:   (x + y)(x -  y) + y2 = x2   (met  x =  AM en y = MP)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)