© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De afstand van een punt tot een vlak.
       
In deze les staat uitgebreid beschreven wat de afstand van een punt tot een vlak is en hoe je die met behulp van meetkunde (gelijkvormigheid, pythagoras, sos-cas-toa en zo) kunt berekenen.

Vandaag berekenen we die afstand op een meer algebraďsche manier met vectoren.
Het komt allemaal neer op de figuur hiernaast.

De afstand van punt P tot vlak V is de lengte van PS waarbij PS loodrecht op vlak V staat.
       
Nou, als dat zo is, dan berekenen we punt S gewoon met vectormeetkunde!
1.  Stel een vergelijking van V op.
2.  Stel een vectorvoorstelling van PS op  (de richtingsvector is de normaalvector van V).
3.  Bereken het snijpunt van lijn PS met vlak V  (vul een variabel punt van PS in in de vergelijking van V).

Als je S eenmaal hebt is de afstand  PS ook bekend.
     
       
Ik zal hetzelfde voorbeeld en dezelfde opgaven gebruiken die ik in de meetkundeles gebruikte. Niet uit luiheid, maar om de verschillende aanpak duidelijk te maken (nou oké dan...toch een beetje uit luiheid).

Voorbeeld.

Bereken in de kubus hiernaast de afstand van  C tot vlak BMHN (M en N zijn de middens van de ribben)

Kies als oorsprong A.
B = (8, 0, 0)  en  M = (8, 4, 8)  en  H = (0, 8, 8)

De vergelijking van het vlak is dan   x + 2y - z = 8

Een variabel punt daarvan is  (8 + λ, 8 + 2λ,  -λ) en dat vul je in in de vergelijking van V:
8 + λ + 2(8 + 2λ) - (-λ) = 8
8 + λ + 16 + 4λ + λ = 8
6λ = - 16
λ = -8/3 
Nu zou je de coördinaten van het snijpunt S kunnen uitrekenen (is 16/3, 8/3, 8/3)  en dan met Pythagoras de lengte van vector CS kunnen berekenen (is  √((8/3)2 + (16/3)2 + (8/3)2) = √(384/9) = 1/3√384 = 8/3√6),  maar dat is helemaal niet nodig!

trucje...
Het kan veel sneller als je je realiseert dat de vector van C naar S precies -8/3 keer de richtingsvector van lijn CS is. Dat is immers de λ die je vond?
De lengte van CS is dan 8/3 van de lengte van die vector, dus  8/3√(12 + 22 + 12) = 8/3√6.  

(in de ruimtemeetkundeles vonden we trouwens ongeveer 6.53:  amateurs die we toen nog waren! Een vertederende glimlach speelt nu om mijn lippen...)
       
       
  OPGAVEN
       
1. Bereken in de balk hiernaast de afstand van punt P tot vlak V.

       
2. Van een kubus met ribben 4 zijn M en N de middens van twee ribben.

Bereken de afstand van vlak V tot punt P in de figuur hiernaast.

       
3. Bereken in de kubus hiernaast de afstand van de rode lijn l  tot het blauwe vlak V.

Laat eerst duidelijk zien dat l evenwijdig is aan V.

Daarbij zijn de ribben van de kubus gelijk aan 12, en is M het midden van een ribbe.

       
4. Bereken in de balk hiernaast de afstand tussen de vlakken V en W in twee decimalen nauwkeurig.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)