|
|
Gegarandeerd natuurlijk dat er een paar voor hoek C stemmen! Die
ziet er ook het grootst uit immers?
Wij weten intussen dat het niet gaat om de lengte van de benen van een
hoek. Dat zijn immers twee halve lijnen dus die zijn oneindig lang. Het
gaat om de "tussenruimte".
De brugklasmethode was: verdeel een rechte hoek in 90 even grote
stukjes (minihoekjes) en noem één zo'n stukje een
"graad". Van een willekeurig hoek meet je dus gewoon
hoeveel zulke stukjes van één graad er naast elkaar inpassen. Dat heet
het aantal graden van een hoek.
Maar dit is eigenlijk nogal een rare, primitieve en willekeurige methode.
Waarom bijvoorbeeld 90? Waarom niet 38 of 145 of.....? Waar slaat
dat op?
|
|
Heb jij die flauwekul ook altijd maar
voor zoete koek aangenomen???? |
|
|
Er is een betere,
wetenschappelijkere methode, en die heeft te maken met onze
eenheidscirkel.
Spreek af, dat we hoeken voortaan tekenen met benen met allemaal lengte
1 (1 eenheid, dus dat kan cm zijn of m of inch of mijl.... dat doet er
niet toe).
Dan past zo'n hoek precies in een eenheidscirkel.
Leg één been van de hoek langs de positieve x-as zoals bij de
rode hoek hiernaast is gebeurd.
De grootte van de hoek is nu hoe ver punt P gedraaid is vanaf de
positieve x-as.
De groene pijl geeft dat aan.
Hoe groter de hoek, des te langer de pijl. Daarom maken we de afspraak: |
|
|
grootte van de hoek =
lengte van de groene pijl. |
|
|
|
Hieronder zie je hoe dat werkt bij
de hoeken A tm E bovenaan. Telkens is een eenheidscirkel getekend met
als middelpunt het hoekpunt. |
|
|
|
|
Geen twijfel mogelijk: hoek B
heeft de langste groene pijl dus is het grootst. En hoek E de kortste
dus die is het kleinst.
De nieuwe hoekeenheid heet niet graden maar "RADIALEN"
en de afkorting is
"rad".
Welke "Radialen" horen bij
"Graden""?
Een hele cirkel heeft omtrek 2pr
dus een cirkel met straal 1 heeft omtrek 2p.
Maar omdat een hele cirkel gelijk is aan 360º moet gelden: |
|
|
|
|
|
|
Om graden en radialen in elkaar
om te rekenen kun je gewoon een verhoudingsschema gebruiken.
Dat gaat natuurlijk zo
Voorbeeld 1. Hoeveel radialen is een hoek van
50º?
Omdat 360º = 2π rad geeft dat het
volgende verhoudingsschema: |
|
|
graden |
360 |
50 |
radialen |
2π |
?? |
|
|
|
Dat geeft al snel ?? =
50 • 2π/360
≈ 0,87 rad. |
|
|
Voorbeeld 2:
Hoeveel graden is een hoek van 2,8 radialen?
Omdat 360º = 2π rad geeft dat het
volgende verhoudingsschema: |
|
|
graden |
360 |
?? |
radialen |
2π |
2,8 |
|
|
|
Dat geeft al snel ?? = 2,8 • 360/2π
≈ 160,43º |
|
|
|
Hieronder
staan een aantal veel voorkomende hoeken in graden en in radialen. |
|
|
graden |
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
120 |
135 |
150 |
180 |
270 |
360 |
radialen |
0 |
1/6π |
1/4π |
1/3π |
1/2π |
2/3π |
3/4π |
5/6π |
π |
11/2π |
2π |
|
|
|
We hebben overal de radialen in
een aantal keer
π laten staan. Je zou het ook
natuurlijk gewoon kunnen uitrekenen. Dan zou bijvoorbeeld 1/2π
rad gelijk zijn aan ongeveer 1,57 rad. Maar ja, dat laatste is afgerond
en die
π-aantallen zijn exact, dus dat hebben
wiskundigen veel liever (eigenlijk veel veel veel veel veel veel
veel veel liever). |
|
|
OPGAVEN |
|
|
|
|
1. |
a. |
Hoeveel graden is een hoek van 1 rad? |
|
|
b. |
Hoeveel radialen is een hoek van 1º? |
|
|
|
|
|
2. |
Reken de volgende hoeken van graden om
naar radialen. |
|
|
|
|
|
|
|
|
a. |
40º |
|
d. |
72º |
|
g. |
400º |
|
|
b. |
138º |
|
e. |
250º |
|
h. |
102º |
|
|
c. |
24º |
|
f. |
-55º |
|
i. |
-80º |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Reken de volgende hoeken van
radialen om naar graden. Rond indien nodig af op gehele graden. |
|
|
|
|
|
|
|
|
a. |
10 rad |
|
d. |
11/8π
rad |
|
g. |
31/6π
rad |
|
|
b. |
1/12p
rad |
|
e. |
2,6 rad |
|
h. |
6,9 rad |
|
|
c. |
-3 rad |
|
f. |
90 rad |
|
i. |
22 rad |
|
|
|
|
|
4. |
Bereken met je GR (de hoeken zijn in
radialen) en rond indien nodig af op twee decimalen: |
|
|
|
|
|
|
a. |
cos(2/3π) |
|
d. sin(3/7π) |
|
g. tan(2) |
|
|
b. |
sin(-1/6π) |
|
e. tan(12/3π) |
|
h. cos(1,5) |
|
|
c. |
tan(1/4π) |
|
f. cos(-41/5π) |
|
i. sin(8,23) |
|
|
|
|
|
5. |
De grote wijzer van een
klok is 12 cm lang, en de kleine wijzer is 8 cm lang. Het is nu
precies drie uur. |
|
|
|
|
a. |
Welke afstand heeft het
uiteinde van de grote wijzer afgelegd als het vijf voor half
vijf is geworden? |
|
|
|
|
b. |
Hoe laat is het geworden
als de kleine wijzer een afstand van 16 cm heeft afgelegd?
Geef je antwoord in minuten nauwkeurig. |
|
|
|
|
|
|
Om 12 uur staan beide
wijzers precies gelijk. Als
α de hoek
waarover de grote wijzer heeft gedraaid is (in radialen), en t
de tijd in minuten vanaf 12 uur, dan geldt
α
=
πt/30 |
|
|
|
|
|
|
c. |
Toon aan dat die formule
klopt, en leid ook zo'n formule voor de kleine wijzer af. |
|
|
|
|
d. |
Bereken met
de formules uit vraag c) op welk tijdstip de wijzers voor het
eerst na 12 uur wéér precies gelijkstaan. Geef je antwoord in
seconden nauwkeurig. |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Teken op onderstaande
geo-driehoek de hoeken van 0, 1/6π, 1/4π,
1/3π,
1/2π,
2/3π,
3/4π,
5/6π
en
π radialen. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Rangschik naar opklimmende
grootte zonder je GR te gebruiken (de hoeken zijn uiteraard in
radialen):
cos1 - cos2 - cos3 - cos4
- cos5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|
|