© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Redeneren met exponenten en logaritmen
   
Het redeneren met exponentiële en logaritmische formule (en hun afgeleiden)  gaat eigenlijk net zoals het redeneren met formules dat we al eerder bekeken  (hier met functies en hier met afgeleiden).
Op dezelfde manier als in die twee eerdere lessen kun je beredeneren of grafieken stijgen of dalen en of ze afnemend of toenemend stijgen/dalen. Verder is ook vaak te beredeneren of er grenswaarden zijn.

Het enige verschil is dat je voor gx  en voor glog(x)  moet weten wat die "doen" als x toeneemt of afneemt.
En dat kun je allemaal uiteraard uit de grafieken van gx  en van  glog(x) afleiden.
Het zijn er alleen wel vier.
Hier zie je ze met hun eigenschappen:
     

       
Verder weet je natuurlijk dat  log(x) hetzelfde is als  10log(x)  en dat  ln(x) hetzelfde is als  elog(x)
Nou, daar moet je het mee doen........

Laten we een paar redeneringen bekijken:
       
Voorbeeld 1.   
Gegeven is de formule

a.  Onderzoek of de grafiek van N stijgt of daalt.
b.  Onderzoek of N nadert naar een grenswaarde als t steeds groter wordt.
   
Oplossing a .
Als t groter wordt......
dan wordt 0,6t  kleiner
dan wordt  2 - 0,6t  groter
dan wordt de hele breuk kleiner
Dus de grafiek van N(t) is overal dalend.

Oplossing b.
Als t heel groot wordt
dan gaat 0,6t naar nul
dan gaat  2 - 0,6t  naar 2
dan gaat de hele breuk naar 60
Dus de grafiek van N(t) heeft grenswaarde  N = 60
       
Voorbeeld 2.
Gegeven is de formule  N(t) = 12 · 0,8-2t
a.  beredeneer met de formule van N of de grafiek van N stijgt of daalt.
b.  beredeneer met de afgeleide N '  of de grafiek van N stijgt of daalt.
c.  onderzoek met behulp van de afgeleide N ' of die stijging/daling  toenemend of afnemend is

Oplossing a.
Als t groter wordt.....
dan  wordt -2t kleiner (groter negatief)
dan wordt  0,8-2t  groter  (want grondtal 0,8 < 1)
dan wordt N groter
Dus de grafiek van N stijgt.

Oplossing b.
N ' =  12 · 0,8-2t · ln(0,8) ·  -2   (die laatste -2 is van de kettingregel)
N ' = 5,36 · 0,8-2t
De grafiek van N ' is  altijd positief  (gx) is altijd positief) dus de grafiek van N stijgt overal.

Oplossing c.
N ' = 5,36 · 0,8-2t
Als t groter wordt dan wordt -2t kleiner
Dan wordt  0,8-2t  groter  (want het grondtal 0,8 is kleiner dan 1).
Dus de grafiek van N ' stijgt dus de grafiek van N is toenemend stijgend.
       
 
 
OPGAVEN
       
1. Beredeneer met de volgende formules of de grafieken stijgen of dalen, en of de grafieken een grenswaarde hebben.
       
  a. Z(s) =  800 - 12 · 1,6s  
       
  b.
       
2. De sterkte van een geluid wordt meestal uitgedrukt in Bel.
Eigenlijk is de geluidssterkte de hoeveelheid energie I per vierkante meter.
Voor de berekening in decibel geldt:  B = log(I) + 12
Daarin is B het aantal bel, en I de intensiteit in W/m2  (Watt per vierkante meter).
(Overigens wordt geluidssterkte vaak gegeven als deciBel waarbij 1 decibel  = 0,1Bel)

Uit de formule blijkt, dat als de intensiteit I tien keer zo groot wordt, het aantal Bel met 1 toeneemt.

       
  a. Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat 
log(10I) + 12 altijd 1 groter is dan log(I) + 12.
       
  Het aantal decibel neemt dus met 1 toe als de intensiteit 10 keer zo groot wordt. Dus de grafiek van B is afnemend stijgend. Dit kun je ook zien aan de afgeleide van B.
       
  b. Stel een formule op voor  dB/dI en toon met behulp daarvan aan dat B toeneemt en dat deze toename steeds kleiner wordt.
       
3. Het volgende model geeft een benadering voor het aantal olifanten in Azië:
 

       
  Daarin is N het aantal olifanten in duizenden en t de tijd in jaren met t = 0 in 2000.
       
  a. Toon aan dat de afgeleide van N gelijk is aan
       
   

       
    en bereken vervolgens met behulp van deze afgeleide in welk jaar de grafiek van N overgaat van een toenemende daling naar een afnemende daling.
       
  b. Volgens de bovenstaande formule van N(t) nadert het aantal olifanten in Azië op den duur een grenswaarde.
Bereken deze grenswaarde
       
4. Netflix bestaat al sinds 1997. Het aantal gebruikers is sindsdien enorm gegroeid tot in 2024 al  282 miljoen.
Voor het aantal gebruikers is het volgende model op te stellen:
       
 

       
 

Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1997 en N het aantal Netflix gebruikers in miljoenen. N is stijgend, dus het aantal Netflix gebruikers wordt groter naarmate t groter wordt.

Je kunt met behulp van alleen de formule voor N(t), dus zonder te differentiëren of gebruik te maken van de grafiek, beredeneren dat de stijging van het aantal Netflixgebruikers op den duur heel klein wordt.

Geef zo’n redenering.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)