Rentenieren

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     

tweede orde recursievergelijkingen
 
Iemand heeft een flink kapitaal bij elkaar gespaard, en is nu van plan te gaan rentenieren. Laten we zeggen dat hij €300.000  heeft. Dat geld heeft hij slim belegd, en hij verwacht dat hij de komende jaren elk jaar 9% rente zal krijgen over dit geld.
Verder wil hij elk jaar een bepaald bedrag B opmaken, maar om rekening te houden met de inflatie zal dat bedrag B elk jaar 5% meer worden.
De vraag is eenvoudig:   Als hij in het begin een bedrag B opneemt, hoe lang zal het dan duren voordat al zijn geld op is?

De vergelijking

Laten we t de tijd in jaren noemen, en Kt het overgebleven kapitaal na t jaar, en Bt het bedrag dat hij in jaar t opneemt.
Dan geldt:   K1 = (K0 -  B0) • 1,09   en   K2 = (K1 -  B1) • 1,09 enzovoorts.

Maar B1 = 1,05 • B0
Uit K1 = (K0 -  B0) • 1,09  volgt  B0 = K0 -  K1 • 1/1,09  dus dan is 
B1 = 1,05 • (K0 - K1 • 1/1,09)
Dat kun je invullen in de vergelijking voor K2, en dat geeft 
K2 = (K1 - 1,05 • (K0 -  K1 • 1/1,09)) • 1,09
Haakjes wegwerken en vereenvoudigen geeft dan   K2 = K1 • (1,09 + 1,05) + K0 • 1,05 • 1,09
Dat is een tweede orde recursievergelijking.
Als je de rentefactor R ipv 1,09 noemt, en de inflatiefactor I (ipv 1,05) dan krijg je het algemene geval:
       

Kn = Kn - 1 • (R + I) + Kn - 2 • I • R
       
De oplossing
       
De karakteristieke vergelijking van deze recursievergelijking is   g2 + (I + R)g  + IR = 0 en dat heeft (met de som-product methode) natuurlijk de twee oplossingen  g = I en g = R.
De algemene oplossing is daarom van de vorm  Kn = a • In + b • Rn 

Als we het beginkapitaal K noemen (ipv de 300000) dan zijn beginvoorwaarden:
K0 = K = a + b
K1 = (K -  B0) • R = aI + bR.
Van de eerste kun je  b = K - a maken, en dat dan invullen in de tweede.
En daarmee wordt de totale vergelijking:
       

       
Voorwaar een resultaat om trots op te zijn!
       
Voorbeeld.
In bovenstaand voorbeeld was K = 300000,  R = 1,09 en I = 1,05.
Als je 20 jaar lang wilt kunnen rentenieren, dan mag Kn niet eerder nul zijn dan bij  K20.
Dat geeft  0 = 1345500 + (72,30 - 152,72)•B0  dus  B0 ≈ €20907,34.
Je kunt het eerste jaar €20907,34 opnemen en daarna elk jaar 4% meer.
       
         
  OPGAVEN
         
1. Iemand die zijn geld niet heeft geοnvesteerd of op de bank gezet, maar in een oude sok onder zijn bed bewaart, zal geen rente krijgen. Laat zien dat het bedrag dat hij dan het eerste jaar op kan nemen om n jaar te kunnen rentenieren gelijk is aan  B = K/In -1
         
2. Ik wil graag 20 jaar kunnen rentenieren, en ik verwacht al die tijd 8% rente op mijn geld, en een inflatie van 4%.
Hoeveel kapitaal moet ik hebben om dat te kunnen volhouden, als ik het eerste jaar een bedrag van €25000 wil opnemen?
       

€357681,46
         
3. Ik heb een kapitaal van €400000, en wil daar het eerste jaar  €25000 van opnemen, en elk volgend jaar 6% meer.
Verder verwacht ik een rente van 10%.
Hoeveel jaar kan ik rentenieren?
       

23 jaar
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)