Scheve asymptoten.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
In een vorige les over scheve asymptoten heb je al een aantal "trucs"geleerd om ze op te sporen.
Maar dat waren slechts trucs, en die werken niet altijd. Dat is voor een echte wiskundige erg onbevredigend. De vraag is, zijn er niet wat systematischer manieren om die dingen te vinden?
Deze les zullen we twee zulke "algemenere"  manieren vinden.
 
1.  Maak een staartdeling.
 
Als je een functie hebt  waar een breuk in staat, met in die breuk allemaal machten van x dan kun je die breuk vaak vereenvoudigen door een staartdeling te maken. Dat werkt als de hoogste macht van de teller groter (of gelijk) is dan de hoogste macht van de noemer.  Hoe dat moet staat in deze les.
Het resultaat van zo'n staartdeling is een breuk die naar nul gaat (en dus te verwaarlozen is), plus nog een stuk dat een scheve asymptoot zou kunnen opleveren (namelijk als dat stuk de vergelijking van een rechte lijn is).

Voorbeeld.
 
 
  Maak eerst een staartdeling voor de breuk:  
 

     
Dat betekent dat de oorspronkelijke functie gelijk is aan   y = 2x2 - 2x2 + 3x - 2 + 2/(x + 1)
Dat laatste stuk gaat naar nul voor x oneindig groot of klein.
Die eerste twee vallen tegen elkaar weg.
Dan blijft over y = 3x - 2
Dat is een rechte lijn, dus dat is de scheve asymptoot van de grafiek van deze functie.
     
Methode 2:  Gebruik de afgeleide.
     
Wanneer heeft een grafiek een scheve asymptoot?
Nou... als hij op den duur langs een schuine rechte lijn gaat lopen.
Dat betekent dat de helling van de grafiek constant wordt (namelijk gelijk aan de helling van die schuine lijn).
Maar de helling is de afgeleide, dus dat betekent dat de afgeleide op den duur constant wordt, dus een horizontale asymptoot heeft.
     

f  heeft een scheve asymptoot      f ' heeft een horizontale asymptoot.

     
Die horizontale asymptoot van f ' is dan meteen de helling van die scheve asymptoot van f.
Dat betekent dat de grafiek voor hele grote of kleine x-waarden langs de lijn y = ax + b zal gaan lopen, waarbij we dan die a al hebben gevonden; dat is de plaats van de horizontale asymptoot van f '. 
     
Voorbeeld.  Onderzoek of de functie y = √(4x2 - 6x) een scheve asymptoot heeft.
Daar kunnen we de derde truc uit de vorige les op toepassen:
Als x oneindig groot positief bekijken, dan zal die 6/x nul worden, en dan staat er  (4x - 3)/(2x)
Dat zal ongeveer gelijk worden aan 4x/2x = 2
Dus f ' heeft een horizontale asymptoot y = 2
Dus f heeft een scheve asymptoot y = 2x + b.

Hoe vind je b?
Dat is als volgt te beredeneren:  voor hele grote x wordt  f(x) ongeveer gelijk aan ax + b
Maar als dat zo is, dan wordt  f(x) - ax  gelijk aan b
Bekijk dus wat er gebeurt met f(x) - ax voor hele grote x

Voorbeeld
(vervolg).
We hebben al gevonden dat  y = √(4x2 - 6x) een scheve asymptoot y = 2x + b heeft.
Daarom kijken we nu naar wat er met  √(4x2 - 6x) - 2x  gebeurt als x oneindig groot wordt.
Op dezelfde manier als hierboven:
Als x oneindig groot wordt, dan wordt 6/x nul, en dan staat er x(2 - 2) = 0
Kortom  b = 0 en de asymptoot is  y = 2x

Nou was dit een beetje een onnodig moeilijke manier; het kan ook als volgt op de manier van de vorige les:
√(4x2 - 6x) = √(4x2(1 - 6/4x)) = √4x2 √(1 - 6/4x) = 2x √(1 - 6/4x)
Die 6/4x  gaat naar nul, dus die wortel gaat naar 1 en de asymptoten zijn de lijnen y = 2x

Maar de methode met de afgeleide werkt ook bij functies die je niet zo makkelijk kunt veranderen.
Neem de volgende.

Nog een Voorbeeld   Onderzoek of de functie f(x) = x + ex een scheve asymptoot heeft.
Eerst maar eens f ':  1 + ex.
Voor x oneindig groot wordt dit ook oneindig groot. Maar als x een oneindig groot negatief getal is, dan gaat ex naar nul, en dan komt er 1 uit.
De scheve asymptoot zit dus aan de linkerkant en zal gelijk zijn aan y = x + b
x
+ ex - x  =  ex  en dat gaat naar nul als x een oneindig groot negatief getal wordt.
Dus b = 0 en de scheve asymptoot is de lijn y = x

       
1. Geef de vergelijkingen van de scheve asymptoten van de grafieken van volgende functies:
       
  a.

y = 0,5x + 0,25

  b.

y = 3x + 21

  c.

y = x - 2

       
2. Geef de vergelijkingen van de scheve asymptoten van de grafieken van volgende functies:
       
  a.

y = x
y = -x

       
  b.

y = -2x

       
  c.

y = x + 1

    Gebruik je GR bij deze!  
       
  d. f(x) = x + e-x  
     

y = x

       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)