scheve asymptoten


Scheve asymptoten.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

In een vorige les over scheve asymptoten heb je al een aantal "trucs"geleerd om ze op te sporen.
Maar dat waren slechts trucs, en die werken niet altijd. Dat is voor een echte wiskundige erg onbevredigend. De vraag is, zijn er niet wat systematischer manieren om die dingen te vinden?
Deze les zullen we twee zulke "algemenere" manieren vinden.

Methode 1. Maak een staartdeling.

Als je een functie hebt waar een breuk in staat, met in die breuk allemaal machten van x dan kun je die breuk vaak vereenvoudigen door een staartdeling te maken. Dat werkt als de hoogste macht van de teller groter (of gelijk) is dan de hoogste macht van de noemer. Hoe dat moet staat in deze les.

Het resultaat van zo'n staartdeling is een breuk die naar nul gaat (en dus te verwaarlozen is), plus nog een stuk dat een scheve asymptoot zou kunnen opleveren (namelijk als dat stuk de vergelijking van een rechte lijn is).

Voorbeeld.

Onderzoek of de grafiek van de volgende functie scheve asymptoten heeft:

Maak eerst een staartdeling voor de breuk:

Dat betekent dat de oorspronkelijke functie gelijk is aan y = 2x² - 2x²+ 3x - 2 + ²/_{(x
+ 1)}Dat laatste stuk gaat naar nul voor x oneindig groot of klein.
Die eerste twee vallen tegen elkaar weg.
Dan blijft over y = 3x - 2
Dat is een rechte lijn, dus dat is de scheve asymptoot van de grafiek van deze functie.

Methode 2: Gebruik de afgeleide.

Wanneer heeft een grafiek een scheve asymptoot?
Nou... als hij op den duur langs een schuine rechte lijn gaat lopen.
Dat betekent dat de helling van de grafiek constant wordt (namelijk gelijk aan de helling van die schuine lijn).
Maar de helling is de afgeleide, dus dat betekent dat de afgeleide op den duur constant wordt, dus een horizontale asymptoot heeft.

f heeft een scheve asymptoot ⇒ f ' heeft een horizontale asymptoot.

Die horizontale asymptoot van f ' is dan meteen de helling van die scheve asymptoot van f.
Dat betekent dat de grafiek voor hele grote of kleine x-waarden langs de lijn y = ax + b zal gaan lopen, waarbij we dan die a al hebben gevonden; dat is de plaats van de horizontale asymptoot van f '.

Voorbeeld. Onderzoek of de functie y = √(4x² - 6x) een scheve asymptoot heeft.

De afgeleide is gelijk aan:

We kunnen die kwadraat uit de wortel halen en dan alles door x delen:

Als we x oneindig groot positief bekijken, dan zal dat naar ⁸/₄ = 2 gaan
Dus f ' heeft een horizontale asymptoot y = 2
Dus f heeft een scheve asymptoot y = 2x + b.

Hoe vind je b?
Dat is als volgt te beredeneren: voor hele grote x wordt f(x) ongeveer gelijk aan ax + b
Maar als dat zo is, dan wordt f(x) - ax gelijk aan b
Bekijk dus wat er gebeurt met f(x) - ax voor hele grote x

Voorbeeld (vervolg).
We hebben al gevonden dat y = √(4x² - 6x) een scheve asymptoot y = 2x + b heeft.
Daarom kijken we nu naar wat er met √(4x² - 6x) - 2x gebeurt als x oneindig groot wordt.
Dat kun je bijvoorbeeld ontdekken door dit slimmigheidje:

Dat gaat naar -1¹/₂ als x oneindig groot wordt.

Kortom b = -1¹/₂ en de asymptoot is y = 2x - 1¹/₂

Nou was dit een beetje een onnodig moeilijke manier; het kan ook als volgt op de manier van de vorige les:
√(4x² - 6x) = √(4(x² - ³/₂x + ⁹/₁₆ - ⁹/₁₆)) = √(4((x - ³/₄)² - ⁹/₁₆) ≈ √(4(x - ³/₄)²) = 2(x - ^3/₄) = 2x - 1¹/₂

Maar deze "methode met de afgeleide" werkt soms ook bij functies die je niet zo makkelijk kunt veranderen.
Neem de volgende.

Nog een Voorbeeld
Onderzoek of de functie f(x) = x + e^x een scheve asymptoot heeft.
Eerst maar eens f ': 1 + e^x.
Voor x oneindig groot wordt dit ook oneindig groot. Maar als x een oneindig groot negatief getal is, dan gaat e^x naar nul, en dan komt er 1 uit.
De scheve asymptoot zit dus aan de linkerkant en zal gelijk zijn aan y = x + b
x + e^x - x = e^x en dat gaat naar nul als x een oneindig groot negatief getal wordt.
Dus b = 0 en de scheve asymptoot is de lijn y = x

OPGAVEN

Geef de vergelijkingen van de scheve asymptoten van de grafieken van volgende functies:

y = 0,5x + 0,25

y = 3x + 21

y = x - 2

Geef de vergelijkingen van de scheve asymptoten van de grafieken van volgende functies:

y = ±(x+1)

y = x + 1

Gebruik je GR bij deze!

f(x) = x + e^-x

y = x

Examenopgave VWO Wiskunde B, 2023-II

De functie f wordt gegeven door:

De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in O.
Zie de figuur.

Bereken exact de richtingscoëfficiënt van l.

²/₃

De grafiek van f heeft een scheve asymptoot en een verticale asymptoot. Deze twee asymptoten snijden elkaar in het punt S. De grafiek van f ondergaat een translatie van 2 naar rechts en b omhoog.
De grafiek die zo ontstaat, hoort bij de functie g. De waarde van b is zó gekozen dat S op de grafiek van g ligt.

Bereken exact de waarde van b.

b = 3,5