| 1. |
Los op in [0, 2π]: |
|
a. |
cosx + cos(x
- 1/3π)
= 1/2√3 |
|
|
b. |
sin(x +
4/5π)
- sin(x - 1/5π)
= √2 |
|
|
|
|
|
|
| 2. |
Los op in [0, 2π]: |
|
a. |
sinx + sin2x
= sin11/2x |
|
|
b. |
cos3x - cosx
= sinx |
|
0, 7/12π,
11/12π,
π,
19/12π, 23/12π,
2π |
|
|
|
|
|
|
| 3. |
Als
β
= 1/2π
-
α dan geeft de eerste formule van
Simpson dat: sinα + cosα
= √2 • cos(α
- 1/4π) |
|
a. |
Toon dat aan. |
|
|
|
b. |
Los algebraïsch op in [0, 2π]:
sinx + cosx = 1/2 .
Geef je antwoord in twee decimalen. |
|
|
|
|
|
| 4. |
Als je neemt
α
= x + y en
β
= x - y dan gaat de tweede formule van
Simpson over in: |
|
|
|
cosx • cosy =
1/2
(cos(x + y) + cos(x
- y)) |
|
|
|
|
|
|
a. |
Toon dat aan. |
|
|
|
|
|
|
|
|
De beroemde Deense
astronoom Tycho Brahe gebruikte deze laatste formule om snel (ze
hadden in zijn tijd, zo rond 1570, nog geen computers) twee
grote getallen met elkaar te vermenigvuldigen.
Stel dat hij moest uitrekenen 154736 • 573247.
Dan deelde hij ze eerste beide door 1000000, dus dat gaf
0,154736 • 0,573247
De eerste noemde hij nu cosx en de tweede cosy
Hij had uitgebreide tabellen voor sinus en cosinus. |
|
|
|
|
|
|
b. |
Leg uit hoe hij met de
gegeven formule en zijn cosinustabellen nu 154736
• 573247 kon uitrekenen zonder deze grote getallen te
hoeven vermenigvuldigen. |
| |
|
|
|
c. |
Bereken op de manier van
Brahe hoeveel 23667 • 8534212 is. |
|
|
|
|
|
| 5. |
Examenvraagstuk
wiskunde B, VWO, 2005 |
|
|
|
|
|
|
Op tijdstip t = 0
beginnen de punten P en Q met een eenparige cirkelbeweging.
De bewegingsvergelijkingen zijn: |
|
|
|
|
|
|
voor P: |
 |
en voor Q: |
 |
|
|
|
|
|
|
Hierbij is t
in seconden en zijn x(t) en y(t)
in centimeters.
In de figuur hiernaast staat de beginsituatie op schaal
getekend.
Tijdens de beweging wordt Q telkens door P ingehaald. |
|
|
|
|
|
|
a. |
Bereken na hoeveel
seconden Q voor het eerst door P wordt ingehaald. |
|
|
|
|
|
Op een bepaald tijdstip
heeft P over de cirkel een afstand van 20 cm afgelegd. |
|
|
|
|
|
|
b. |
Teken in de figuur
hierboven de plaats van P op dit tijdstip. Licht je werkwijze
toe. |
|
|
|
|
|
|
Het punt M is het midden
van lijnstuk PQ. De coördinaten van M zijn: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
De bewegingsvergelijkingen
van M zijn van de vorm: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c. |
Geef een formule voor
φ
uitgedrukt in t. Licht je antwoord toe. |
| |
|
|
|
|
| 6. |
Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2002 |
| |
|
|
|
 |
| |
De beweging van een punt in
het Oxy vlak wordt voor 0 ≤ t
≤ 2π
gegeven door: |
| |
 |
| |
|
|
|
| |
In de figuur hiernaast is de baan van
het punt getekend.
De bewegingsvergelijkingen
kunnen herleid worden tot: |
| |
 |
|
| |
met r(t) = 2•cos(6,5t) |
| |
|
|
|
|
| |
a. |
Toon dit aan. |
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Bij het doorlopen van de baan
van de figuur hierboven voor 0 ≤ t
≤ 2π
passeert het punt een aantal keren (0,0). |
| |
|
|
|
|
| |
b. |
Bereken dit aantal langs
algebraïsche weg. |
| |
|
|
|
|
| 7. |
Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012
De functies
f
en
g
zijn gegeven door
f(x) = sinx en g(x)=
sin(x + 1/3π).
De functie
h
is gegeven door h(x) =
1/2 • (f(x) + g(x)).
In de figuur hiernaast zijn de grafieken van
f,
g
en
h
getekend op het domein
[0,2π].Bereken exacte waarden van
a
en
b
zo dat 1/2
• (f(x) + g(x)) te herleiden is tot a
• sin(x + b) |
 |
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
