Sirenes in Nederland.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       

In Nederland staan verspreid over het land een groot aantal sirenes die draadloos en onafhankelijk van elkaar aangezet kunnen worden vanuit de alarmcentrale van de regionale brandweer. Dit wordt het WAS (waarschuwings- en alarmeringssysteem) genoemd.

 

Om de bevolking van ons land in geval van nood te kunnen waarschuwen ligt er een netwerk van sirenes over ons hele land. Elke eerste maandag van de maand worden die om 12.00 uur getest. In deze les bestuderen we hoe je deze sirenes zo efficiënt mogelijk op een regelmatige manier over ons land kunt verspreiden.

Eerst maar eens kijken wat voor regelmatige manieren er zijn om zo'n netwerk te maken.
       
Roosters.    
       
De drie meest voor de hand liggende methodes om sirenes regelmatig te plaatsen zijn de drie eenvoudigste manieren om een heel vlak te vullen met regelmatige wiskundige figuren. Dat kan het simpelst met driehoeken, vierkanten of zeshoeken, en dat geeft de volgende drie roosters:
       

       
De sirenes die we gaan plaatsen liggen dus steeds op de plaats van die gekleurde stippen.
Als eerste (en belangrijkste) voorwaarde hebben we het feit dat natuurlijk iedereen een sirene moet kunnen horen. Dat bepaalt eigenlijk hoe groot die driehoeken. vierkanten en zeshoeken kunnen zijn (we maken ze natuurlijk het liefst zo groot mogelijk, want dan zijn er zo weinig mogelijk sirenes nodig, en dat is goedkoper!).
 
1.  Het driehoeksrooster.
       

Hiernaast zie je een driehoeksrooster met  van één sirene het bereik aangegeven (de cirkel). Als het punt Z (zwaartepunt van de driehoek) de sirene kan horen, dan kan de hele driehoek de sirene horen. De afstand B is het Bereik van de sirene.

In een driehoek delen de zwaartelijnen elkaar in verhouding 1 : 2 dus in de figuur hiernaast geeft dat de afstanden B en 0,5B.
De driehoek is gelijkzijdig, dus geldt:

x2 =  (0,5x)2  + (1,5B)2 
⇒  0,75x2 = 2,25B2  
⇒  x = B√3

De oppervlakte van de driehoek is dan  0,5 • x • 1,5B = 0,5 • B√3 • 1,5 • B = 3/4B2√3

Maar......

Als je heel Nederland zou bedekken met een rooster van gelijkzijdige driehoeken, en aan elke driehoek zou je drie sirenes vastmaken, dan liggen er in elk knooppunt 6 sirenes als je die driehoeken tegen elkaar aan op de kaart van Nederland legt. Er komen immers in elk punt 6 driehoeken bij elkaar.
Er is maar één sirene nodig, dus dat is zes keer zoveel als nodig.
Daarom horen bij elke driehoek niet 3, maar 3/6 = 0,5 sirene.
0,5 sirene zorgt dus gemiddeld voor  3/4B2√3 oppervlakte, dus per sirene is dat  1,5B2√3
       
2.  Het vierkantsrooster.
       
In de figuur hiernaast zie je dat, als de afstand B het midden van het vierkant moet bereiken, er moet gelden: 

B2 = (0,5x)2 + (0,5x)2  ofwel x = B√2

De oppervlakte van het vierkant is dan  2B2

Maar......

Als je aan elk vierkant vier sirenes zou vastmaken en dan die vierkanten over elkaar heen zou leggen op de kaart van Nederland, dan zitten er in elk knooppunt 4 sirenes.
Dat is 4 keer teveel, daarom horen bij elk vierkant niet 4, maar 4/4 =  1 sirene.

       

Elke sirene zorgt dus voor een oppervlakte van  2B2
       
3.  Het zeshoeksrooster.
       

Hiernaast zie je dat  het bereik van de sirene gelijk is aan een zijde van de zeshoek.
De zeshoek bestaat uit zes driehoeken.
De hoogte van zo’n driehoek is  h2 = B2 - (0,5B)2
Dus h =  1/2B√3

De oppervlakte van de zeshoek is dan   6  • ½ • B • (1/2B√3) =  11/2B2√3

Maar......

Als je aan elke zeshoek zes sirenes zou vastmaken en dan de zeshoeken tegen elkaar aan zou leggen op de kaart van Nederland dan zijn er bij elk knooppunt 3 sirenes.

Daarom mag je het aantal sirenes door 3 delen, en hoort bij elke zeshoek  6/3 = 2 sirenes.

Elke sirene zorgt dus voor een oppervlakte van   3/4B2√3
       
De Praktijk is anders...
       
Als je de Bosatlas pakt en de oppervlakte van Nederland opzoekt dan is dat  41.160 km2
Het bereik van een sirene is ongeveer 500 tot 750 meter.
Dat zou bij de drie verschillende soorten roosters de volgende aantallen benodigde sirenes geven:
       

Soort rooster

Oppervlakte per sirene

Aantal sirenes

Driehoek

11/2B2√3 = 0,65 – 1,46 km2

28000 - 63000

Vierkant

2B2 = 0,5 – 1,13 km2

36000 – 82000

Zeshoek

3/4B2√3 = 0,32 – 0,73 km2

56000 - 128000

       

In werkelijkheid staan in Nederland een dikke 4000 sirenes. Lang niet de hele oppervlakte wordt bestreken, want de sirenes staan vooral in dichtbevolkte gebieden. Kamerlid Irrgang van de SP heeft hierover in 2006 kamervragen gesteld (zie de bijlage).

 

Voorlopig lijkt het driehoeksrooster het beste rooster, want er zijn het minst aantal sirenes voor nodig.
       
De zeshoek verbeterd.
       
Hieronder links zie je een zeshoekig rooster (de blauwe stippen) met op elke stip een sirene.
De rode sirene wordt weggelaten, en rechts zie je dat nog steeds alle punten van het vlak zwart (bedekt) zijn
       

       

Er kunnen nog veel meer sirenes uitvallen zonder dat dat onbedekte punten geeft:

Hieronder links is dat gebeurd. Rechts zie je een groter patroon met alle weggevallen sirenes. Dat geeft een verbetering van ons zeshoekpatroon. Het kan kennelijk met minder sirenes, zodat toch de hele oppervlakte bedekt blijft.  Uit de figuur rechts blijkt dat van de horizontale rijen om en om niets of de helft uitvalt. Dat betekent dat van het totaal aantal sirenes een kwart weg kan.
       

       

Soort rooster

Oppervlakte per sirene

Aantal sirenes

Driehoek

11/2B2√3 = 0,65 – 1,46 km2

28000 - 63000

Vierkant

2B2 = 0,5 – 1,13 km2

36000 – 82000

Verbeterde Zeshoek

3/4B2√3 = 0,32 – 0,73 km2

42000 - 96000

       
HELP! Er valt een sirene uit!!
       
Wat zijn de gevolgen? Hoeveel mensen (%) zal dan geen waarschuwing meer krijgen?
Laten we het weer per rooster bekijken.

1. Het driehoeksrooster.
       
Stel dat in het driehoeksrooster linksonder de rode sirene uitvalt...
       

       

Als een zijde van de driehoek 1 is, is de hoogtelijn 1/2√3 en de oppervlakte 1/4√3

Het paarse gedeelte in de driehoek rechts bestaat uit twee cirkelsegmenten met een hoek van 30° (samen dus 1/6 cirkel) plus een driehoek.

• De basis van de driehoek is 1, en de hoogte 1/6√3 (een derde deel van de zwaartelijn) dus de oppervlakte  1/12√3
• De cirkel heeft straal 1/3√3 (twee derde deel van de zwaartelijn) dus de cirkeldelen hebben samen oppervlakte  1/6 • π • (1/3√3)2 = 1/18π
•  De hele oppervlakte van de driehoek is  1/2 • 1 • 1/2√3 = 1/4√3
       

De uitval is dus  26,4%

       
2. Het vierkantsrooster.
       

       
Boven links zie je dat het gele gebied niet meer wordt bestreken als de rode sirene uitvalt.
In de tekening rechts hebben de kwartcirkels straal 1/2√2 dus samen oppervlakte 1/2 • π • (1/2√2)2 = 1/4π
Voor de rest van het vierkant blijft over  1 – 1/4π
Het gele deel is daar de helft van:  1/2 - 1/8π
Dat is  (1/2 - 1/8π) : 1 = 0,107,     dus 10,7% valt uit.
       
3.  Het "verbeterde" zeshoeksrooster.
       

       
Kijk naar de linker figuur.
Als de gele sirene uitvalt krijgt het gele gebied niets meer te horen.
Rechts zie je het onderste deel uitvergroot.
Trek van de zeshoek twee cirkeldelen (met hoek 120°) af. Als de zijde van de zeshoek 1 is, dan is de straal van zo’n cirkel dat ook.
De hele zeshoek heeft oppervlakte  1,5√3
De twee cirkeldelen hebben oppervlakte  2/3 • π • 12
dat is  9,7% van de hele zeshoek
       
Randeffecten.
       
Tot nu toe zijn we uitgegaan van een oneindig uitgestrekt  gebied zonder randen.
Het feit dat er in praktijk wel een grens is, heeft een nadelig effect op het aantal benodigde sirenes.
Daarvan gaan we een ruwe schatting maken.

 Neem als voorbeeld het driehoeksrooster. Daar vonden we dat bij elke driehoek gemiddeld 0,5 sirene hoort.
Een regelmatige tekening ('t is maar een schatting) zou de volgende zijn:
       
       

Je ziet dat midden in het land elke sirene bij zes driehoeken hoort. Maar aan de grens is dat niet meer zo, daar hoort elke sirene nog maar bij 3 driehoeken. Dat betekent dat de grenssirenes maar half zo effectief zijn als die midden in het land. Ze tellen maar half mee.
Dus als er bijvoorbeeld 1400 grenssirenes zijn, dan tellen die voor de oppervlakte maar als 700, dus zijn nog 700 extra nodig.
Kortom: het totaal aantal benodigde sirenes moeten  we vergroten met het aantal grenssirenes.

 Hoeveel grenssirenes zijn er?
Eerder vonden we voor de zijde van een driehoek al  x = B√3 (B = bereik van de sirene)

Hoe lang is de grens van Nederland?  We moeten zowel de landgrenzen als de zeegrenzen tellen, want daar treedt “sireneverlies” op.
Een schatting met de kaart van Nederland levert ongeveer  75 cm grens bij een schaal 1: 2000000 dus dat is  1500 km grens. Als een sirene een bereik van 500 – 750 m heeft hebben de driehoeken van het rooster zijde B√3 = 0,87 – 1,30 km  Dat zijn dus  1730 – 1150 sirenes extra.   Conclusie:
       

Door randeffecten kosten zijn 3 á 4 procent extra sirenes nodig.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)