snijpunt twee lijnen


Het snijpunt van twee lijnen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Bij twee lijnen in een plat vlak was het snijpunt makkelijk te vinden: je stelde de x-coördinaten aan elkaar gelijk en je stelde de y-coördinaten aan elkaar gelijk. Dat gaf dan twee vergelijkingen met twee onbekenden (meestal l en m) en die waren eenvoudig op te oplossen.

Ach.... zucht...die goeie ouwe tijd...!

Nu we eenmaal de ruimte in zijn gegaan is de zaak een stuk ingewikkelder.
Neem bijvoorbeeld de volgende twee lijnen:

Als (bij het snijpunt) de x- y- en z-coördinaten gelijk moeten zijn, dan geeft dat de volgende drie vergelijkingen:

2λ = -2 + 3μ en 3 + λ = 1 - μ en 5 + λ = 4 + 2μ

Maar aiaiaiaiai! Dat zijn DRIE vergelijkingen met TWEE onbekenden! En dat kun je normaal gesproken niet oplossen! Met twee van die drie vergelijkingen zou je immers al l en μ kunnen berekenen, maar het wil helemaal niet zeggen dat die gevonden l en μ dan ook voldoen aan de derde vergelijking!! (Sterker nog; dat zou wel heel toevallig zijn)

Neem bijvoorbeeld de eerste twee vergelijkingen.
Uit de tweede volgt λ = -2 - μ en invullen in de eerste levert dan 2•(-2 - μ) = -2 + 3μ
⇒ -4 - 2μ = -2 + 3μ ⇒ -2 = 5μ ⇒ μ = -0,4 en dan is λ = -1,6.
Dus x = -3,2 en y = 1,4.
Maar de derde vergelijking geeft dan 5 - 1,6 = 4 - 0,8 en dat klopt niet!
De z-coördinaat van de eerste lijn zou 3,4 zijn maar die van de tweede lijn is 3,2.

De Oplossing?

De oplossing is......Er is geen oplossing!!!
Letterlijk in dit geval: de twee lijnen snijden elkaar niet. In een plat vlak is dat heel zeldzaam: dan moeten ze precies evenwijdig zijn. Maar in de driedimensionale ruimte kan dat natuurlijk heel goed, namelijk niet alleen als ze evenwijdig zijn, maar ook als ze "achter elkaar langs lopen". Kruisen heet dat.

OPGAVEN

Bereken, indien mogelijk, de coördinaten van het snijpunt van de volgende lijnen: