speciale staartdeling


Een speciale staartdeling.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De volgende staartdeling geeft een prachtig regelmatig resultaat:

Je kunt dat op meerdere manieren zien. De simpelste is door er gewoon een paar te proberen:

Ik hoop dat je de regelmaat ziet.
Als dat zo is, dan kun je nu in één keer opschrijven voor n = 10: x - y / x¹⁰ - y¹⁰ \ x⁹ + x⁸y + x⁷y² + ... + x²y⁷ + xy⁸ + y⁹
Het kan natuurlijk ook in één keer met n:

En dat deel daar rechts loopt net zolang door tot er staat x⁰y^n-¹

Bewijs: De methode van de onbepaalde coëfficiënten.

Vermenigvuldig beide kanten met (x - y) en rangschik de termen met dezelfde machten van y:

xⁿ - yⁿ = a₀x + (a₁x - a₀)y + (a₂x - a₁)y² + (a₃x - a₂)y³ + ...

Als de rechterkant voor elke x en y gelijk moet zijn aan de linkerkant, dan moeten alle termen behalve die met xⁿ en yⁿ wegvallen. En de termen met xⁿ en yⁿ moeten precies coëfficiënten 1 en -1 krijgen.
Dat geeft een boel vergelijkingen: (bij elke vergelijking is het resultaat van de vorige gebruikt)

a₀x = xⁿ ⇒ a₀ = xⁿ^{- 1}
(a₁x - a₀) = 0 ⇒ a₁x - xⁿ^-1 = 0 ⇒ a₁ = xⁿ^{- 2}(a₂x - a₁) = 0 ⇒ a₂x - xⁿ^{- 2} = 0 ⇒ a₂ = x^{n - 3}
....
....
a_n_{- 1} = -1

Dat geef het hierboven gevonden eindresultaat:

Misschien vind je deze notatie mooier (er staat natuurlijk gewoon het zelfde):

Het resultaat is niet eens zo heel erg belangrijk. Het gaat meer om de gevolgde methode, die is best interessant. We hebben eerst gedaan alsof het resultaat te schrijven is als machten van y met nog een aantal onbepaalde coëfficiënten (a₀, a₁, ...)
Vervolgens hebben we die coëfficiënten van x laten afhangen om het resultaat kloppend te krijgen. Deze methode heet daarom heel toepasselijk de "methode van de onbepaalde coëfficiënten".


1.
	Bepaal de waarden van a₀, a₁, a₂, ... waarvoor dit kloppend wordt.

2.
	Bepaal de waarden van a₀, a₁, a₂, ... waarvoor dit kloppend wordt.