spiegelingen


Spiegelen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het laatste wat we nog kunnen doen met een grafiek is hem spiegelen. Dat is gelukkig ook de makkelijkste transformatie van allemaal. Er zijn weer twee mogelijkheden:

1. Spiegelen in de x-as.

Dan klapt de hele grafiek als het ware om. Dat betekent dat elke y tegengesteld wordt (plus wordt min en min wordt plus). In de formule kunnen we dat bereiken door een minteken voor de hele formule te zetten (want de hele formule, dat is immers de y).

spiegelen in de x-as ⇒ minteken voor de hele formule

2. Spiegelen in de y-as

Dat betekent dat punten rechts van de y-as naar links gaan en andersom. Dus worden negatieve x-en positief en positieve x-en negatief. In feite wisselt elke x van teken. Dat betekent voor de formule:

spiegelen in de y -as ⇒ vervang elke x door -x

Geef het functievoorschrift van de grafiek die je krijgt als je y = 2x - x² spiegelt in de x-as.

y = x² - 2x

Geef het functievoorschrift van de grafiek die je krijgt als je y = 2x - x² spiegelt in de y-as.

y = -2x - x²

a. Leg met behulp van spiegelen van grafieken uit dat cos(-x) = cos(x)
b. Leg met behulp van spiegelen van grafieken uit waarom (-x)³ = -x³

Een parabool die de top op de y-as heeft liggen heeft algemene formule y = px² + q

Leg uit wat het effect van p en q is, en daarmee waarom de top van zo'n parabool dus op de y-as ligt.

Zo'n parabool blijft gelijk als je hem spiegelt in de y-as.
Dat wist je natuurlijk al, maar toon nu algebraïsch aan dat dat inderdaad zo is.

Spiegelen in de oorsprong kun je doen door eerst in de x-as te spiegelen en daarna in de y-as.
Leg uit hoe je aan een formule kunt zien dat de grafiek ervan symmetrisch is in de oorsprong.
Verklaar daarmee de symmetrie in de oorsprong van de grafieken van y = x³ en y = ¹/_x

Spiegelen in een andere lijn.

Natuurlijk kun je een grafiek ook makkelijk in een andere lijn spiegelen, en meetal kun je dat soort spiegelingen terugbrengen tot spiegelingen in de y-as of in de x-as.
Ik zal twee soorten van zulke "andere" spiegelingen behandelen, beide aan de hand van een voorbeeld.

3. Spiegelen in de lijn y = a
Als je een grafiek moet spiegelen in een horizontale lijn y = a dan zou ik de grafiek eerst a omlaag schuiven, vervolgens spiegelen in de x-as en tenslotte weer a omhoog schuiven.

Voorbeeld: Spiegel de grafiek van y = x² + 2x - 8 in de lijn y = 3

• schuif de grafiek eerst 3 omlaag: dat geeft y = x² + 2x - 11
• spiegel dan in de x-as, dat geeft y = -x² - 2x + 11
• schuif de grafiek tenslotte 3 omhoog, dat geeft y = -x² - 2x + 14
samen ziet dat er zó uit:

4. Spiegelen in de lijn x = a
Nou, na het vorige voorbeeld zul je dit nu zelf wel kunnen verzinnen.
Schuif de grafiek eerst a naar links, spiegel dan in de y-as en schuif de grafiek tenslotte weer a naar rechts.

Voorbeeld: spiegel de grafiek van y = √(x - 3) in de lijn x = 1
• schuif de grafiek 1 naar links: y = √(x + 1 - 3) = √(x - 2)
• spiegelen in de y-as: y = √(-x - 2)
• schuif de grafiek 1 naar rechts: y = √(-(x - 1) - 2) = √(-x - 1)


5.	Geef in de volgende gevallen een functievoorschrift voor de beeldgrafiek:

	a.	Spiegel de grafiek van y = ¹/_{(x - 2)} in de lijn y = 6

	b.	Spiegel de grafiek van y = x² - 4x in de lijn x = -2

	c.	Spiegel de grafiek van y = x + 2^x in de lijn x = 4

	d.	Spiegel de grafiek van y = 2 + sinx in de lijn y = -5