© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) 
Kansverdeling.
   
   
Standaarddeviatie.  
   
Van een serie meetwaarden hebben we al eerder ontdekt dat de standaardafwijking een maat is voor hoe ver die getallen uit elkaar liggen.
Maar wat voor een serie gemeten getallen (een frequentietabel) kan, kan ook bij een serie getallen met de kans daarop (een kansverdeling). De kans ergens op is natuurlijk ook zoiets als hoe vaak het voorkomt, dus een soort frequentie eigenlijk.
 

kans ≈  frequentie
 

Nou ja... hoe vaak je verwacht dat het gaat voorkomen.
Daarom zou je eigenlijk niet van  standaardafwijking mogen spreken, maar van verwachte standaardafwijking (net zoals bij het gemiddelde:  daar hadden we het over verwachtingswaarde in plaats van gemiddelde weet je nog?)

Voorbeeld.
Uit een vaas met 10 rode ballen en 5 witte ballen haal ik willekeurig 4 ballen.
Ik krijg €2,-  voor elke rode bal  en  €5,- voor elke witte bal. Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van het bedrag dat ik zal krijgen.

Oplossing.
De kansverdeling is die van het vaasmodel (hypergeometrische verdeling). Daar zal ik je verder niet mee vermoeien, dat was deze eerdere les. In dit geval ziet die er zó uit:

   
aantal rode ballen 0 1 2 3 4
kans 0,0037 0,0733 0,3297 0,4396 0,1538
bedrag €25 €22 €19 €16 €13
   
Zet vervolgens de bedragen in L1 en de kansen erbij in L2 (via STAT - Edit)
Vervolgens geeft  STAT - Calc - 1Var Stats (L1, L2)  de verwachtingswaarde 17 en standaarddeviatie 2,51.

Hiernaast zie je hoe 't nog sneller kan.


 
   
Een snellere formule.  (alleen voor liefhebbers hoor!)
   
Je zou natuurlijk ook de standaarddeviatie "met de hand"  kunnen uitrekenen, op dezelfde manier als we in deze les deden (met als enige verschil dat de frequenties nu dus vervangen worden door kansen).
Dat zou met deze formule gaan:

   
Maar er is een mooiere formule te maken. Vooral handig als je geen rekenmachine bij de hand hebt.
Dat gaat zó:

Laten we die tweede en derde term onder de loep nemen.....
Die tweede, daar staat als somteken natuurlijk gewoon het gemiddelde xG.
Die derde daar is dat somteken uiteraard gewoon 1:  de som van alle kansen
Dat geeft:

   
OPGAVEN
   
1. Hiernaast zie je twee portemonnees.
De eerste bevat 3 briefjes van €10,- en  5  briefjes van €20,-
De tweede bevat 30 briefjes van €10,- en 50 briefjes van €20,-

Stel dat je uit één van die portemonnees willekeurig twee briefjes trekt (zonder terugleggen).
       
  Het maximale bedrag dat je kunt trekken is voor beide portemonnees €40,- en het minimum is €20,- dus dat is voor beiden gelijk.
Het gemiddelde bedrag dat je krijgt is voor beiden ook gelijk, namelijk €32,50.
         
  a. Toon dat aan.
         
  De standaarddeviaties van het totale bedrag zijn niet gelijk!
         
  b. Maak eens een verantwoorde gok welke standaarddeviatie het grootst zal zijn.
         
  c. Bereken de standaarddeviatie van het totale bedrag in beide gevallen.
       

4,79 en 4,87
  d. Omschrijf wat het verschil in standaarddeviaties voor dit experiment betekent.
         
2. Twee pokerspelers spelen elke avond online-poker en verdienen daar behoorlijk wat geld mee.
De bedragen die de spelers verdienen op een tafel (in tientallen euro's) staan, met de kansen erop, in de volgende tabel  (Zodra iemand €100 heeft gewonnen of verloren aan een tafel wordt hij verwijderd en moet hij een andere tafel zoeken).
         
 
bedrag [-100, -80〉 [-80, -60〉 [-60, -40〉 [-40, -20〉 [-20, 0〉 [0, 20〉 [20, 40〉 [40, 60〉 [60, 80〉 [80, 100〉
kans speler 1 0,03 0,06 0,08 0,09 0,11 0,14 0,14 0,16 0,16 0,05
kans speler 2 0,02 0,04 0,09 0,10 0,12 0,14 0,15 0,15 0,13 0,06
         
  a. Laat zien dat de verwachtingswaarde per tafel voor beide spelers gelijk is.
       

beiden 14,6
  De ene speler staat meer bekend als een "gokker" en men vindt de andere speler een meer "stabiele" speler.
     
  b. Leg uit welk van beide speler welke reputatie heeft, en hoe dat uit de standaarddeviaties volgt.
         
  c. Maak een schatting van de kans dat speler 1 aan een tafel een bedrag wint dat niet meer dan één standaarddeviatie van zijn gemiddelde afligt.
         
   
3. Je mag de schijf hiernaast net zo lang draaien totdat je een getal draait dat niet hoger is dan het vorige.

Bereken het gemiddelde aantal keren dat je zult draaien en de standaarddeviatie daarvan.

       

2.37 en 0.55
       
4. Op een rouletteschijf staan 37 vakjes, genummerd van 0 t.m. 36. Na het draaien zal het balletje in één van deze vakjes terechtkomen.

Om te onderzoeken of een ervaren croupier de uitslag kan beïnvloeden heeft men zo'n croupier gevraagd bij 50 achtereenvolgende spelen op de vakjes in de buurt van "10" te mikken. Men zal letten op de afstand (D) van het winnende nummer tot het vakje "10".
In de figuur hierboven blijkt dat voor '5' en '23' geldt  D = 1, voor  '8' en '24' geldt  D = 2, enz.

     
  a. Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van D als alle nummers gelijke kans hebben.
   

   9.24 en 5,34

       
  De croupier houdt zich aan haar opdracht; in de tabel hieronder staan de resultaten van 50 spelen.
       
 
afstand (D) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
frequentie 3 4 7 4 6 7 5 6 3 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0
       
  b. Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van D uit deze tabel.
     

   4,76 en 2,98

  c. Wat is de conclusie van dit onderzoek?
       
5. Karin en Truus gooien met een dobbelsteen. Ze doen wie het hoogst gooit. Ze leggen beiden €3,- in de pot, en de winnaar krijgt die  €6,- (en heeft dus 3 euro winst). Als ze gelijk gooien krijgt ieder zijn geld terug.

De dobbelsteen van Karin is echter vals!! Kijk maar naar de uitslag ervan hiernaast.

     
  a. Bereken de verwachtingswaarde van het door Karin te winnen bedrag per worp.
       
  b. Hoe vaak moeten ze gooien zodat de verwachtingswaarde van het door Karin gewonnen bedrag gelijk is aan  €20,-?
       
  Joke gaat ook meedoen. Ze gooit met een eerlijke dobbelsteen én met een muntstuk. Als ze met het muntstuk "KOP" gooit mag ze een punt bij haar dobbelsteenworp optellen, anders niet.
       
  c. Als Joke 10 keer op deze manier "gooit" wat zal ze dan gemiddeld gegooid hebben? En wat is de standaarddeviatie van dat gemiddelde?
       
  d. Als ze met zijn drieën spelen, dan verdelen de hoogste gooiers de pot.
Bereken de verwachtingswaarde van het bedrag dat Joke zal winnen als ze één keer met zijn drieën spelen.
       
6. Oma Betty en Oma Truus hebben allebei een portemonnee met wat muntgeld erin.
Betty heeft 2 munten van 50 cent, 1 munt van 10 cent en 1 munt van 20 cent.
Truus heeft 3 munten van 10 cent, 2 munten van 50 cent en 1 munt van 5 cent.
De oma’s houden van gokken en doen het volgende spelletje:
Ze pakken allebei willekeurig een munt uit hun portemonnee. Degene met het hoogste bedrag erop krijgt van de ander het verschil in centen uitbetaald.
  Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie van het bedrag dat oma Betty zal winnen.
       
7. In een vaas zitten n rode knikkers en n witte knikkers.
Iemand haalt er twee knikkers uit zonder terugleggen.
X is het aan rode knikkers daarbij.
Geef een formule voor de standaarddeviatie van X als functie van n
Gebruik de oorspronkelijke definitie van standaarddeviatie uit deze les.
       
8. De volgende tabel geeft weer hoe het aantal kinderen in een gezin verdeeld is:
       
 
aantal kinderen 0 1 2 3 4 5 6
aantal gezinnen 0,43 0,18 0,17 0,11 0,06 0,03 0,02
       
  a. Kies een willekeurig gezin en noem X het aantal kinderen in dat gezin.
Geef het gemiddelde en de standaarddeviatie van X.
     

   1,36 en 1,56

  b. Kies een willekeurig kind en noem Y het aantal kinderen in het gezin van dat kind.
Geef het gemiddelde en de standaarddeviatie van Y.
     

   3,15 en 1,47

       
9. Een onderzeeër vuurt 3 torpedos op een schip af. De kans dat de eerste raak is, is 1/3.
Voor de andere twee geldt: 
de kans dat de torpedo raak is, is 1/2 als de vorige ook raak was
de kans dat de torpedo raak is, is 1/4 als de vorige mis was.

Bereken het gemiddelde aantal treffers en de standaarddeviatie daarvan.
     

   1,125 en 0,88

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)